Der Lösungsweg über die charakteristische Gleichung
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschreiben Schwingungen von Federn und Pendeln, elektrische Schwingkreise und gedämpfte Bewegungen. Der Lösungsansatz y = e^(λx) führt auf die charakteristische Gleichung aλ² + bλ + c = 0. Ihre Nullstellen bestimmen, wie die Lösung aussieht.
Es gibt drei Fälle. Bei positiver Diskriminante b² − 4ac entstehen zwei reelle Nullstellen und die Lösung ist eine Summe zweier Exponentialfunktionen, der Kriechfall. Bei Diskriminante null gibt es eine doppelte Nullstelle, und die Lösung lautet (C₁ + C₂x)·e^(λx), der aperiodische Grenzfall. Bei negativer Diskriminante sind die Nullstellen konjugiert komplex, und die Lösung schwingt mit e^(αx)·(C₁·cos ωx + C₂·sin ωx).
Ist die rechte Seite eine Konstante r, kommt eine partikuläre Lösung hinzu, im Normalfall r ÷ c. Aus den Anfangswerten y(0) und y′(0) bestimmt der Rechner die Konstanten C₁ und C₂ und wertet die Lösung samt Ableitung an der gewählten Stelle aus.
aλ² + bλ + c = 0, λ = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a); y = y_h + y_p mit y_p = r ÷ c; C₁, C₂ aus y(0) und y′(0)
Physikalische Deutung und Grenzen
Beim gedämpften Federpendel steht a für die Masse, b für die Dämpfungskonstante und c für die Federkonstante. Die Lösung y beschreibt die Auslenkung über der Zeit. Ist die Dämpfung klein, schwingt das System mit abnehmender Amplitude; bei kritischer Dämpfung kehrt es am schnellsten ohne Überschwingen in die Ruhelage zurück; bei starker Dämpfung kriecht es langsam zurück. Genau diese drei Fälle unterscheidet der Rechner.
Beim elektrischen Reihenschwingkreis übernehmen Induktivität, Widerstand und Kehrwert der Kapazität die Rollen von a, b und c. Eine konstante rechte Seite entspricht einer Gleichspannung oder einer konstanten Kraft wie der Gewichtskraft. Dann pendelt die Lösung nicht um null, sondern um die neue Gleichgewichtslage r ÷ c.
Ist c = 0, fehlt der Term mit y, und eine Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist 0. Die partikuläre Lösung lautet dann r·x ÷ b, bei b = c = 0 r·x² ÷ (2a). Der Rechner behandelt diese Sonderfälle. Andere rechte Seiten wie Sinus- oder Exponentialfunktionen erfordern den Ansatz vom Typ der rechten Seite oder die Variation der Konstanten und sind hier nicht enthalten.
Die Lösung wächst bei positiven Exponenten sehr schnell. Liegt der Funktionswert außerhalb des darstellbaren Bereichs, meldet der Rechner das. Die Nullstellen der charakteristischen Gleichung können Sie mit dem PQ-Formel-Rechner nachprüfen, Ableitungen mit dem Ableitungsrechner und Näherungen mit dem Taylorpolynom-Rechner.
Tipps und typische Fehler
DGL lösen.
- Ansatz: e^(λx).
- Diskriminante: Fall wählen.
- Partikulär: Ergänzen.
- Anfangswerte: Einsetzen.
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Häufige Fragen
Was ist die charakteristische Gleichung?
Die quadratische Gleichung aλ² + bλ + c = 0, die aus dem Ansatz y = e^(λx) entsteht.
Wann schwingt die Lösung?
Wenn die Diskriminante b² − 4ac negativ ist und die Nullstellen komplex sind.
Wie bestimme ich die Konstanten?
Aus den Anfangswerten y(0) und y′(0) durch Einsetzen in die allgemeine Lösung und ihre Ableitung.
Was ist ein Anfangswertproblem?
Eine Differentialgleichung mit vorgegebenen Werten von y und y′ an einer Stelle.
Was bedeutet aperiodischer Grenzfall?
Die doppelte Nullstelle, bei der das System ohne Schwingen am schnellsten zur Ruhe kommt.
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