Wie sich Messunsicherheiten fortpflanzen
Jeder Messwert ist mit einer Unsicherheit behaftet. Wird aus mehreren Messwerten ein Ergebnis berechnet, etwa eine Fläche aus Länge und Breite oder eine Dichte aus Masse und Volumen, überträgt sich diese Unsicherheit auf das Ergebnis. Die Gaußsche Fehlerfortpflanzung beschreibt, wie das geschieht. Sie ist die Grundlage des Leitfadens zur Angabe der Unsicherheit beim Messen (GUM, JCGM 100:2008) und der Normenreihe DIN 1319.
Für eine Funktion z = f(x, y) mit unabhängigen Messgrößen werden die Einzelbeiträge mit den partiellen Ableitungen gewichtet und quadratisch addiert. Dahinter steht die Annahme, dass sich zufällige Abweichungen teilweise ausgleichen: Es ist unwahrscheinlich, dass x und y gleichzeitig maximal in dieselbe Richtung abweichen. Die Formel ist eine Linearisierung und gilt gut, solange die Unsicherheiten klein gegenüber den Messwerten sind.
Für die Grundrechenarten ergeben sich einfache Merkregeln. Bei Summe und Differenz addieren sich die absoluten Unsicherheiten quadratisch. Bei Produkt und Quotient addieren sich die relativen Unsicherheiten quadratisch. Bei einer Potenz xⁿ wird die relative Unsicherheit mit dem Betrag des Exponenten multipliziert, beim Quadrat also verdoppelt, bei der Wurzel halbiert.
Ergebnis richtig angeben
Der Rechner zeigt neben der Gaußschen Unsicherheit den Größtfehler, bei dem die Beträge der Einzelbeiträge einfach addiert werden. Er ist immer mindestens so groß und entspricht dem ungünstigsten Fall, in dem alle Abweichungen zusammenwirken. Im Schulunterricht und bei systematischen Fehlern mit unbekanntem Vorzeichen wird er manchmal verlangt. Für zufällige, unabhängige Fehler ist die Gaußsche Formel realistischer.
Die Unsicherheit wird nach gängiger Praxis auf eine oder zwei gültige Ziffern gerundet, und zwar aufgerundet, damit sie nicht zu klein angegeben wird. Der Messwert wird dann auf dieselbe Dezimalstelle gerundet. Der Rechner verwendet zwei gültige Ziffern. Aus 9,81 ± 0,0234 wird so (9,810 ± 0,024). Mehr Nachkommastellen beim Ergebnis vorzutäuschen, als die Unsicherheit hergibt, ist ein häufiger Fehler in Praktikumsprotokollen.
Der Anteil eines Messwerts an der Gesamtvarianz zeigt, wo sich eine Verbesserung lohnt. Wenn eine Größe 80 % der Varianz verursacht, bringt eine genauere Messung der anderen Größe kaum etwas. Diese Betrachtung heißt im GUM Unsicherheitsbudget. Die Empfindlichkeit ∂z/∂x gibt an, wie stark z auf eine Änderung von x reagiert, und ist der Gewichtungsfaktor in der Formel.
Die Formel setzt voraus, dass x und y unkorreliert sind. Wird dieselbe Größe mehrfach verwendet, etwa bei z = x · x, darf man nicht die Produktregel mit zwei unabhängigen Faktoren nehmen, sondern muss die Potenzregel verwenden: Die relative Unsicherheit ist dann 2Δx/x statt √2 Δx/x. Für korrelierte Größen, stark nichtlineare Funktionen oder große Unsicherheiten sind Kovarianzterme oder eine Monte-Carlo-Simulation nach GUM-Ergänzung 1 nötig.
Tipps und typische Fehler
Sauber auswerten.
- Einheiten: Einheitlich.
- Relativ: Bei Produkten.
- Runden: Zwei Ziffern.
- Budget: Größten Beitrag finden.
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Häufige Fragen
Warum wird quadratisch addiert?
Weil unabhängige zufällige Abweichungen sich teilweise ausgleichen. Die Varianzen addieren sich, nicht die Standardabweichungen. Das folgt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Wann nimmt man den Größtfehler?
Wenn der ungünstigste Fall abgeschätzt werden soll, etwa bei Toleranzketten oder systematischen Fehlern mit unbekanntem Vorzeichen. Er ist eine obere Schranke.
Auf wie viele Stellen rundet man die Unsicherheit?
Üblich sind eine oder zwei gültige Ziffern, aufgerundet. Der Messwert wird anschließend auf dieselbe Dezimalstelle gerundet.
Was ist der Unterschied zwischen Fehler und Unsicherheit?
Der Fehler ist die unbekannte Abweichung vom wahren Wert, die Unsicherheit beschreibt den Bereich, in dem dieser Wert vermutlich liegt.
Was ist eine Standardunsicherheit?
Die Unsicherheit eines Messergebnisses, ausgedrückt als Standardabweichung. Sie ist die Eingangsgröße der Gaußschen Fehlerfortpflanzung.
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