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Länge einer archimedischen Spirale berechnen

Geben Sie den Innendurchmesser, den Abstand zwischen zwei Windungen und die Zahl der Windungen ein. Der Rechner berechnet die Bogenlänge und den Außendurchmesser.

Spirale
0, wenn die Spirale im Mittelpunkt beginnt.
Ergebnis

Wo archimedische Spiralen vorkommen

Eine archimedische Spirale wächst bei jeder Umdrehung um denselben Abstand nach außen. Man kennt sie von aufgerollten Schläuchen und Seilen, von Spiralfedern in Uhren, von der Rille einer Schallplatte, von gelegten Kabeln, Heizschlangen in der Fußbodenheizung, gewickelten Teppichläufern und von Spiralbeeten im Garten.

Gesucht ist oft die Länge: Wie viel Schlauch passt in eine Spirale mit zehn Windungen, wie lang wird ein spiralförmig verlegtes Heizrohr, wie viel Draht braucht eine flache Spule? Der Rechner beantwortet das aus Innendurchmesser, Windungsabstand und Windungszahl.

Neben der exakten Bogenlänge zeigt er eine einfache Näherung: Windungszahl mal mittlerer Umfang. Sie ist für dichte Spiralen sehr genau und eignet sich zum Nachrechnen im Kopf. Die angezeigte Abweichung macht sichtbar, wann die Näherung ausreicht.

r (φ)=r0+b⋅φmit b=Abstand2 π; L=r⋅r2+b2+b2⋅ln (r+r2+b2)2 b , von r0 bis r1=r0+n⋅Abstandr\,\left(\varphi\right) = r_{0} + b \cdot \varphi\quad \text{mit}\ b = \frac{\text{Abstand}}{2\,\pi};\ L = \frac{r \cdot \sqrt{r^{2} + b^{2}} + b^{2} \cdot \text{ln}\,\left(r + \sqrt{r^{2} + b^{2}}\right)}{2\,b}\,{,}\ \text{von r}_{0}\,\text{bis r}_{1} = r_{0} + n \cdot \text{Abstand}

Beispiel: Innendurchmesser 20 mm, Abstand 5 mm, 10 Windungen: Der Radius wächst von 10 auf 60 mm, der Außendurchmesser beträgt 120 mm. Die exakte Länge ist 2.199,83 mm, also rund 2,20 m. Die Näherung 10 · π · (20 + 120) ÷ 2 ergibt 2.199,11 mm und liegt nur 0,032 Prozent darunter. Der gesamte Drehwinkel beträgt 3.600 Grad.

Genauigkeit und Anwendung

Die exakte Formel ergibt sich aus der Bogenlänge in Polarkoordinaten. Sie berücksichtigt, dass die Kurve nicht auf Kreisen verläuft, sondern ständig leicht nach außen läuft. Bei kleinen Windungsabständen im Verhältnis zum Durchmesser ist dieser Anteil winzig. Erst bei sehr weit gespreizten Spiralen mit wenigen Windungen und kleinem Startradius wird der Unterschied zur Näherung spürbar.

Der Abstand ist der Mittenabstand zweier benachbarter Windungen. Liegt ein Schlauch oder Kabel Windung an Windung, entspricht er dem Außendurchmesser des Materials. Soll zwischen den Windungen Luft bleiben, wie bei Heizrohren mit festem Verlegeabstand, tragen Sie diesen Abstand ein. Der Innendurchmesser bezieht sich ebenfalls auf die Mittellinie des Materials.

Ist statt der Windungszahl der Außendurchmesser bekannt, ergibt sich die Windungszahl als (Außendurchmesser − Innendurchmesser) ÷ (2 · Abstand). Für aufgerollte Folien, Papier oder Klebeband, bei denen Kern- und Außendurchmesser sowie die Materialdicke bekannt sind, ist der Rollenlängen-Rechner der direktere Weg.

Planen Sie bei Schläuchen und Kabeln eine Zugabe für die Anschlüsse an beiden Enden ein. Bei Fußbodenheizungen gibt der Hersteller meist eine maximale Kreislänge je Heizkreis vor, die Sie mit dem Ergebnis vergleichen können. Das Ergebnis erscheint in Millimetern und Metern; Sie können aber jede Längeneinheit verwenden, solange alle Eingaben dieselbe haben.

Tipps und typische Fehler

Spiralen planen.

  • Mittellinie: Messen.
  • Abstand: Mitte zu Mitte.
  • Enden: Zugabe.
  • Näherung: Kopfrechnen.

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Häufige Fragen

Was ist eine archimedische Spirale?

Eine Spirale, deren Radius pro Umdrehung um denselben Betrag wächst.

Wie genau ist die Näherung mit dem mittleren Umfang?

Bei dichten Spiralen meist auf Bruchteile eines Prozents genau.

Was trage ich als Abstand ein?

Den Mittenabstand zweier benachbarter Windungen.

Wie viele Windungen passen auf einen Durchmesser?

(Außendurchmesser − Innendurchmesser) ÷ (2 · Abstand).

Wie lang ist eine Schallplattenrille?

Mit Rillenabstand und Windungszahl lässt sie sich hier abschätzen.

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