Zustände, die sich mit festen Wahrscheinlichkeiten ändern
Eine Markov-Kette beschreibt ein System, das zwischen wenigen Zuständen wechselt, wobei die Wahrscheinlichkeit für den nächsten Zustand nur vom aktuellen abhängt, nicht von der Vorgeschichte. Klassische Beispiele sind Wetter (sonnig oder regnerisch), Kundenwechsel zwischen Anbietern, Maschinen im Zustand läuft oder defekt, Brettspielfelder und Aufgaben zur Populationsentwicklung im Mathematikunterricht.
Die Übergangsmatrix fasst alle Wechselwahrscheinlichkeiten zusammen. Die Zeile eines Zustands enthält, mit welcher Wahrscheinlichkeit es von dort in jeden Zustand weitergeht; zusammen ergibt jede Zeile 1. Die Startverteilung gibt an, wie wahrscheinlich jeder Zustand am Anfang ist, oder welcher Anteil einer Gesamtheit sich dort befindet.
Der Rechner multipliziert die Startverteilung n-mal mit der Matrix und zeigt die Verteilung nach n Schritten. Außerdem löst er das Gleichungssystem für die stationäre Verteilung, also den Zustand, der sich bei weiteren Schritten nicht mehr ändert.
Gleichgewicht und Sonderfälle
Die stationäre Verteilung erfüllt π · P = π. Für zwei Zustände mit den Wechselwahrscheinlichkeiten p (von 1 nach 2) und q (von 2 nach 1) gilt einfach π = (q ÷ (p + q) | p ÷ (p + q)); im Beispiel 0,5 ÷ 0,6 = 0,8333. Bei mehr Zuständen löst der Rechner ein lineares Gleichungssystem, in dem eine Gleichung durch die Bedingung Summe = 1 ersetzt wird.
Ob sich die Verteilung tatsächlich der stationären annähert, hängt von der Kette ab. Kann man von jedem Zustand jeden anderen erreichen und gibt es keinen festen Takt, nähert sich jede Startverteilung demselben Gleichgewicht. Bei einer zyklischen Kette, die immer reihum springt, existiert zwar eine stationäre Verteilung, die Folge pendelt aber dauerhaft.
Zerfällt die Kette in getrennte Teile, aus denen man nicht mehr herauskommt, gibt es mehrere stationäre Verteilungen. Der Rechner meldet dann, dass sie nicht eindeutig ist. Welche Verteilung sich einstellt, hängt in diesem Fall von der Startverteilung ab, die Rechnung nach n Schritten bleibt aber korrekt.
Der Abstand zur stationären Verteilung wird als halbe Summe der Betragsdifferenzen angegeben. Er zeigt, wie viel Wahrscheinlichkeitsmasse noch anders verteilt ist als im Gleichgewicht, und macht sichtbar, wie schnell die Kette konvergiert. Für einzelne Zufallsexperimente mit festen Wiederholungen eignet sich der Binomialverteilung-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Ketten modellieren.
- Zeilensumme: Immer 1.
- Zeilen: Von, Spalten: nach.
- Start: Summe 1.
- Gleichgewicht: Prüfen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was muss in einer Zeile der Übergangsmatrix stehen?
Die Wahrscheinlichkeiten, von diesem Zustand in jeden Zustand zu wechseln, zusammen 1.
Was ist die stationäre Verteilung?
Die Verteilung, die sich durch einen weiteren Schritt nicht mehr ändert.
Erreicht jede Kette das Gleichgewicht?
Nur wenn sie irreduzibel und aperiodisch ist; sonst kann sie pendeln oder vom Start abhängen.
Was bedeutet die Markov-Eigenschaft?
Der nächste Zustand hängt nur vom aktuellen ab, nicht von früheren.
Wie berechne ich P hoch n?
Startvektor mit 1 an einer Stelle eingeben; das Ergebnis ist die entsprechende Zeile von Pⁿ.
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