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Pythagoreische Tripel erzeugen und prüfen

Wählen Sie, ob Sie ein Tripel aus den Parametern m und n erzeugen oder drei vorhandene Zahlen prüfen möchten. Der Rechner zeigt Katheten, Hypotenuse und ob das Tripel primitiv ist.

Ihre Zahlen
Ganze Zahl, größer als n.
1 liefert das Grundtripel, 2 das doppelte und so weiter.
Ergebnis

Was ein pythagoreisches Tripel ist

Ein pythagoreisches Tripel besteht aus drei natürlichen Zahlen a, b und c, für die a² + b² = c² gilt. Solche Zahlen sind die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, bei dem alle drei Seiten ganzzahlig sind. Das bekannteste Beispiel ist 3, 4 und 5: neun plus sechzehn ergibt fünfundzwanzig.

Der Rechner arbeitet in zwei Richtungen. Im Modus Erzeugen setzen Sie zwei ganze Zahlen m und n ein, wobei m größer als n sein muss. Daraus entstehen nach der Formel von Euklid die beiden Katheten und die Hypotenuse. Mit dem Faktor k lassen sich Vielfache bilden, etwa 6, 8 und 10 aus dem Grundtripel 3, 4, 5.

Im Modus Prüfen geben Sie drei beliebige ganze Zahlen ein. Der Rechner sortiert sie, nimmt die größte als Hypotenuse und vergleicht die Quadrate. Passt die Gleichung nicht, sehen Sie die Differenz und ob das Dreieck spitz- oder stumpfwinklig wäre. Zusätzlich wird der größte gemeinsame Teiler ermittelt und das gekürzte Grundtripel angezeigt.

a=k⋅(m2−n2) , b=k⋅2 mn , c=k⋅(m2+n2); Pru¨fung: a2+b2=c2a = k \cdot \left(m^{2} - n^{2}\right)\,{,}\ b = k \cdot 2\,\text{mn}\,{,}\ c = k \cdot \left(m^{2} + n^{2}\right);\ \text{Prüfung}:\ a^{2} + b^{2} = c^{2}

Beispiel: Mit m = 5, n = 2 und k = 1 ergeben sich a = 25 − 4 = 21, b = 2 · 5 · 2 = 20 und c = 25 + 4 = 29. Das Tripel 20, 21, 29 ist primitiv, weil 5 und 2 teilerfremd sind und einer der beiden Werte gerade ist. Der Umfang beträgt 70, die Fläche 20 · 21 ÷ 2 = 210.

Primitive Tripel, Vielfache und Anwendungen

Ein Tripel heißt primitiv, wenn die drei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben. Die Formel von Euklid liefert genau dann ein primitives Tripel, wenn m und n teilerfremd sind und nicht beide ungerade sind. Jedes andere Tripel ist ein Vielfaches eines primitiven, zum Beispiel 9, 12, 15 als Dreifaches von 3, 4, 5.

Einige Eigenschaften helfen beim Nachprüfen im Kopf: In jedem primitiven Tripel ist genau eine Kathete gerade, die Hypotenuse ist immer ungerade, und eine der drei Zahlen ist durch 5 teilbar. Das Produkt der beiden Katheten ist stets durch 12 teilbar. Wer diese Regeln kennt, erkennt falsche Kandidaten oft schon vor dem Quadrieren.

Praktisch genutzt werden Tripel seit Jahrhunderten, um rechte Winkel abzustecken. Ein Seil mit zwölf gleichen Abschnitten, zu einem Dreieck 3, 4, 5 gespannt, ergibt einen exakten rechten Winkel. Auf der Baustelle wird das gleiche Prinzip mit 60, 80 und 100 Zentimetern oder 3, 4 und 5 Metern angewendet, um Ecken von Fundamenten und Terrassen zu kontrollieren.

In Unterricht und Prüfungen eignen sich Tripel für Aufgaben, deren Lösungen ganzzahlig aufgehen sollen. Lehrkräfte wählen damit Seitenlängen, bei denen keine Wurzeln stehen bleiben. Für beliebige Dreiecke mit Kommazahlen nutzen Sie den Pythagoras-Rechner, der eine fehlende Seite aus zwei bekannten berechnet.

Tipps und typische Fehler

Rechte Winkel sicher prüfen.

  • Baustelle: 60-80-100 cm nutzen.
  • Euklid: m größer n wählen.
  • Primitiv: ggT gleich 1.
  • Probe: Quadrate vergleichen.

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Häufige Fragen

Welche pythagoreischen Tripel sind am bekanntesten?

3, 4, 5 sowie 5, 12, 13, 8, 15, 17 und 7, 24, 25 sind die kleinsten primitiven Tripel.

Gibt es unendlich viele pythagoreische Tripel?

Ja. Für jedes Paar teilerfremder m und n mit m größer n, nicht beide ungerade, entsteht ein neues primitives Tripel.

Warum muss m größer als n sein?

Sonst wird m² − n² null oder negativ und es entsteht keine gültige Seitenlänge.

Wie stecke ich mit 3, 4, 5 einen rechten Winkel ab?

Messen Sie 3 und 4 Einheiten auf den Schenkeln ab; ist die Diagonale genau 5, ist der Winkel rechtwinklig.

Ist jede Hypotenuse eines primitiven Tripels ungerade?

Ja, bei primitiven Tripeln ist die Hypotenuse immer ungerade.

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