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Rang einer Matrix berechnen

Geben Sie die Matrix zeilenweise ein, die Werte einer Zeile getrennt durch Leerzeichen. Der Rechner bringt sie in Zeilenstufenform und zeigt den Rang.

Matrix
Werte durch Leerzeichen oder Semikolon trennen, Dezimalzahlen mit Komma. Alle Zeilen brauchen gleich viele Werte.
Ergebnis

Was der Rang einer Matrix aussagt

Der Rang zählt, wie viele Zeilen einer Matrix wirklich neue Information enthalten. Ist eine Zeile die Summe oder ein Vielfaches anderer Zeilen, trägt sie nichts Neues bei und senkt den Rang nicht weiter. Zeilenrang und Spaltenrang sind immer gleich, deshalb spricht man einfach vom Rang.

In der Praxis beantwortet der Rang wichtige Fragen: Ist ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar? Sind Vektoren linear unabhängig? Ist eine quadratische Matrix invertierbar? Eine n × n-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihr Rang n beträgt, und genau dann ist auch ihre Determinante ungleich null.

Der Rechner bestimmt den Rang mit dem Gauß-Jordan-Verfahren und zeigt die reduzierte Zeilenstufenform. Sie ist für jede Matrix eindeutig, sodass Sie Ihre eigene Rechnung damit vergleichen können, auch wenn Sie unterwegs andere Zeilenumformungen gewählt haben.

Rang (A)=Anzahl der Nicht-Null-Zeilen in der Zeilenstufenform=Anzahl der Pivotspalten; dim Kern (A)=Spaltenzahl−Rang (A)\text{Rang}\,\left(A\right) = \text{Anzahl der Nicht-Null-Zeilen in der Zeilenstufenform} = \text{Anzahl der Pivotspalten};\ \text{dim Kern}\,\left(A\right) = \text{Spaltenzahl} - \text{Rang}\,\left(A\right)

Beispiel: Matrix mit den Zeilen (1 2 3), (2 4 6), (1 0 1). Die zweite Zeile ist das Doppelte der ersten. Nach Gauß-Jordan ergibt sich die reduzierte Zeilenstufenform (1 0 1) / (0 1 1) / (0 0 0). Zwei Zeilen sind nicht null, der Rang ist also 2. Pivotspalten 1 und 2, Kerndimension 3 − 2 = 1, Determinante 0, die Matrix ist nicht invertierbar.

So läuft das Verfahren ab

Spalte für Spalte sucht der Rechner in den noch freien Zeilen den betragsgrößten Eintrag als Pivotelement. Diese Zeile wird nach oben getauscht und durch das Pivotelement geteilt, sodass dort eine 1 steht. Danach wird die Spalte in allen anderen Zeilen durch Abziehen passender Vielfacher auf null gebracht. Findet sich in einer Spalte kein Eintrag ungleich null, geht es mit der nächsten Spalte weiter.

Am Ende stehen die Pivot-Einsen treppenförmig, darunter und darüber nur Nullen. Die Anzahl der Treppenstufen ist der Rang. Die Spalten, in denen eine Stufe beginnt, heißen Pivotspalten; die übrigen Spalten gehören zu freien Variablen. Ihre Zahl ist die Dimension des Kerns, also der Lösungsraum des homogenen Systems A · x = 0.

Für Gleichungssysteme gilt der Satz von Kronecker-Capelli: Das System ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist. Tragen Sie dazu einmal die Koeffizienten und einmal die Koeffizienten mit der rechten Seite als zusätzliche Spalte ein und vergleichen Sie beide Ränge.

Der Rechner arbeitet mit Dezimalzahlen. Einträge, die nach der Umformung kleiner als ein Zehnmilliardstel des größten Eintrags sind, gelten als null. Bei gut skalierten Matrizen ist das unproblematisch; bei Einträgen, die sich um viele Zehnerpotenzen unterscheiden, kann der numerische Rang vom exakten abweichen. Für Determinanten größerer Matrizen gibt es den Determinanten-Rechner.

Tipps und typische Fehler

Matrizen prüfen.

  • Zeilen: Gleich lang.
  • Vielfache: Senken den Rang.
  • Quadratisch: Determinante prüfen.
  • System: Erweiterte Matrix.

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Häufige Fragen

Wie erkenne ich den Rang an der Zeilenstufenform?

Er ist die Anzahl der Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen.

Kann der Rang größer als die Zeilenzahl sein?

Nein, er ist höchstens das Minimum aus Zeilen- und Spaltenzahl.

Was bedeutet voller Rang?

Alle Zeilen oder alle Spalten sind linear unabhängig, bei quadratischen Matrizen ist sie invertierbar.

Wie prüfe ich lineare Unabhängigkeit?

Vektoren als Zeilen eintragen; sie sind unabhängig, wenn der Rang ihrer Anzahl entspricht.

Ändern Zeilenumformungen den Rang?

Nein, elementare Umformungen lassen den Rang unverändert.

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