Das beste Ergebnis unter Einschränkungen
Lineare Optimierung sucht den größten oder kleinsten Wert einer linearen Zielfunktion, wenn die Variablen bestimmte Grenzen einhalten müssen. Typische Schulaufgaben: Ein Betrieb stellt zwei Produkte her, jedes bringt einen bestimmten Deckungsbeitrag und braucht Maschinenzeit, Material und Personal, die nur begrenzt zur Verfügung stehen. Welche Mengen bringen den höchsten Gewinn?
Mit zwei Variablen lässt sich das Problem anschaulich lösen. Jede Nebenbedingung schneidet eine Halbebene ab, gemeinsam mit x ≥ 0 und y ≥ 0 bleibt ein Vieleck übrig, der zulässige Bereich. Weil die Zielfunktion linear ist, liegt ein endliches Optimum immer in einer Ecke dieses Vielecks.
Der Rechner berechnet deshalb alle Schnittpunkte der Randgeraden, verwirft die unzulässigen und setzt die übrigen Ecken in die Zielfunktion ein. Er zeigt das Optimum, die Ecken und ob die Lösung eindeutig ist. Leere und unbeschränkte Bereiche werden erkannt und gemeldet.
Sonderfälle und Grenzen
Liegt die Zielfunktion parallel zu einer Kante des zulässigen Bereichs, sind zwei benachbarte Ecken gleich gut und mit ihnen jeder Punkt auf der Kante dazwischen. Der Rechner meldet dann, dass die Lösung nicht eindeutig ist, und nennt beide Ecken. Für die Praxis heißt das: Es gibt Spielraum, und andere Kriterien können entscheiden.
Widersprechen sich die Bedingungen, etwa x + y ≥ 20 bei x ≤ 4 und y ≤ 6, gibt es keinen zulässigen Punkt. Ist der Bereich in Richtung besserer Zielwerte offen, wächst der Zielwert beliebig; dann fehlt im Modell eine Grenze. Das passiert typischerweise beim Maximieren mit nur ≥-Bedingungen.
Minimierungsaufgaben wie das Mischungsproblem, bei dem Mindestmengen an Nährstoffen zu möglichst geringen Kosten erreicht werden sollen, geben Sie mit ≥-Bedingungen und dem Ziel Minimieren ein. Negative Koeffizienten sind erlaubt. Wenn Sie weniger als drei Bedingungen brauchen, setzen Sie bei den übrigen alle drei Werte auf 0.
Mehr als zwei Variablen löst man mit dem Simplex-Verfahren oder einer Tabellenkalkulation mit Solver. Ganzzahlige Lösungen, etwa nur ganze Stückzahlen, garantiert die Eckpunktmethode nicht; liegt das Optimum nicht auf ganzen Zahlen, prüfen Sie benachbarte ganzzahlige Punkte. Schnittpunkte einzelner Geraden berechnet der Rechner für Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.
Tipps und typische Fehler
Modelle aufstellen.
- Variablen: Klar benennen.
- Einheiten: Je Bedingung gleich.
- Ganzzahlig: Nachprüfen.
- Leer: Bedingungen lockern.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Warum liegt das Optimum in einer Ecke?
Weil eine lineare Zielfunktion im Inneren und auf Kanten keinen besseren Wert als in den Ecken annehmen kann.
Wie gebe ich eine Mindestmenge ein?
Als Bedingung mit der Relation ≥, zum Beispiel 1 · x + 0 · y ≥ 10.
Was bedeutet unbeschränkt?
Der Zielwert lässt sich beliebig verbessern, weil eine begrenzende Bedingung fehlt.
Was ist der zulässige Bereich?
Alle Punkte, die sämtliche Nebenbedingungen und x, y ≥ 0 erfüllen.
Was ist der Unterschied zum Simplex-Verfahren?
Simplex läuft gezielt von Ecke zu Ecke und eignet sich für viele Variablen.
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