Die Hyperbel als Kegelschnitt
Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei festen Punkten, den Brennpunkten, konstant gleich 2a ist. Sie entsteht auch als Schnitt eines Doppelkegels mit einer Ebene, die steiler ist als die Mantellinien. Im Unterschied zur Ellipse besteht sie aus zwei getrennten Ästen, die sich ins Unendliche erstrecken und sich dabei zwei Geraden, den Asymptoten, beliebig annähern.
Liegt der Mittelpunkt bei (x0 | y0) und die Hauptachse parallel zur x-Achse, lautet die Mittelpunktsform (x − x0)²/a² − (y − y0)²/b² = 1. Die Scheitel liegen im Abstand a links und rechts vom Mittelpunkt. Die Brennpunkte haben den Abstand e, die lineare Exzentrizität, für die bei der Hyperbel e² = a² + b² gilt. Bei der Ellipse steht dort ein Minuszeichen, das ist ein häufiger Verwechslungsfehler.
Die numerische Exzentrizität ε = e/a ist bei jeder Hyperbel größer als 1 und beschreibt, wie weit sie sich öffnet. Werte knapp über 1 ergeben schmale, spitze Äste, große Werte weit geöffnete. Die Formeln folgen der üblichen Darstellung in Formelsammlungen wie dem Taschenbuch der Mathematik von Bronstein und Semendjajew.
Asymptoten, Halbparameter und Anwendungen
Die Asymptoten gehen durch den Mittelpunkt und sind die Diagonalen des Rechtecks mit den Seiten 2a und 2b um den Mittelpunkt. Ihre Steigung ist ±b/a, bei vertikaler Hauptachse ±a/b. Der Rechner gibt außerdem den Winkel zwischen den Asymptoten an, gemessen über die Hauptachse, also den Bereich, in dem die Äste liegen. Ist a = b, stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander und man spricht von einer gleichseitigen Hyperbel mit ε = √2.
Der Halbparameter p = b²/a ist die halbe Länge der Sehne, die durch einen Brennpunkt senkrecht zur Hauptachse verläuft. Er wird für die Polarform der Kegelschnitte gebraucht, die in der Himmelsmechanik eine Rolle spielt. Körper, die mit mehr als der Fluchtgeschwindigkeit an einer Sonne oder einem Planeten vorbeifliegen, bewegen sich auf einem Hyperbelast mit dem Zentralkörper im Brennpunkt.
Hyperbeln begegnen einem auch in Technik und Alltag. Kühltürme haben oft die Form eines einschaligen Hyperboloids, das aus geraden Stäben gebaut werden kann. Funknavigationsverfahren wie das frühere LORAN bestimmten den Standort aus Laufzeitdifferenzen, deren Orte gleicher Differenz Hyperbeln sind. Und die Funktion y = 1/x ist nichts anderes als eine um 45 Grad gedrehte gleichseitige Hyperbel.
Die allgemeine Form A x² + C y² + D x + E y + F = 0 entsteht durch Ausmultiplizieren der Mittelpunktsform mit a²b². Sie ist hilfreich, wenn eine Hyperbel mit anderen Kurven geschnitten werden soll. Gedrehte Hyperbeln mit einem gemischten Glied xy deckt der Rechner nicht ab. Bei Eingaben mit vielen Nachkommastellen sind die angezeigten Koeffizienten auf vier Stellen gerundet.
Tipps und typische Fehler
Hyperbeln sicher bestimmen.
- Vorzeichen: e² = a² + b².
- Lage: Hauptachse prüfen.
- Rechteck: Hilft beim Skizzieren.
- Mittelpunkt: Zuerst verschieben.
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Häufige Fragen
Wann ist eine Hyperbel gleichseitig?
Wenn beide Halbachsen gleich lang sind. Dann stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander und die numerische Exzentrizität beträgt √2 ≈ 1,4142.
Worin unterscheidet sich die Exzentrizität von der Ellipse?
Bei der Hyperbel gilt e² = a² + b² und ε ist größer als 1, bei der Ellipse gilt e² = a² − b² und ε liegt zwischen 0 und 1.
Was gibt der Halbparameter an?
Die halbe Länge der Brennpunktsehne senkrecht zur Hauptachse, p = b²/a. Er erscheint in der Polargleichung r = p/(1 + ε cos φ).
Wie zeichnet man eine Hyperbel?
Zuerst das Rechteck mit den Seiten 2a und 2b um den Mittelpunkt, dann die Diagonalen als Asymptoten, dann die Äste durch die Scheitel.
Ist y = 1/x eine Hyperbel?
Ja, eine gleichseitige Hyperbel, deren Asymptoten die Koordinatenachsen sind. Sie ist gegenüber der Normalform um 45 Grad gedreht.
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