Wo liegt der Mittelpunkt einer Fläche?
Der Flächenschwerpunkt ist der Punkt, an dem eine dünne, gleichmäßig dicke Platte in dieser Form im Gleichgewicht bliebe. Bei Rechteck und Kreis liegt er in der Mitte, bei Dreiecken im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Für zusammengesetzte Flächen wie ein L-Profil, einen Grundriss mit Erker oder ein Blechteil mit schrägen Kanten ist er nicht mehr auf einen Blick erkennbar.
Der Rechner arbeitet mit beliebigen Polygonen, also Flächen mit geraden Kanten. Sie geben die Ecken in der Reihenfolge ein, in der Sie den Rand ablaufen würden, gleich ob im oder gegen den Uhrzeigersinn. Das Polygon wird automatisch geschlossen, der erste Punkt muss also nicht noch einmal am Ende stehen.
Gebraucht wird der Schwerpunkt in der Technischen Mechanik als Bezugspunkt für Trägheitsmomente, im Stahl- und Holzbau für Querschnitte, beim Zuschnitt von Platten, in der Vermessung und überall dort, wo eine Last oder ein Aufhängepunkt mittig sitzen soll.
Hinweise zur Eingabe
Jede Zeile enthält einen Punkt mit x und y. Trennen Sie die beiden Werte durch ein Leerzeichen, einen Tabulator oder ein Semikolon; Dezimalstellen schreiben Sie mit Komma. So lassen sich auch Spalten direkt aus einer Tabellenkalkulation einfügen. Die Einheit ist frei wählbar, das Ergebnis steht in derselben Einheit, die Fläche in deren Quadrat.
Das Verfahren heißt Gaußsche Trapezformel oder Shoelace-Formel. Es zerlegt das Polygon gedanklich in Dreiecke zwischen dem Ursprung und jeder Kante und summiert deren vorzeichenbehaftete Flächen und Momente. Deshalb funktioniert es auch für nicht konvexe Formen mit einspringenden Ecken, solange sich die Kanten nicht kreuzen.
Kreuzen sich Kanten, etwa weil zwei Punkte vertauscht wurden, heben sich Teilflächen gegenseitig auf. Dann stimmen Fläche und Schwerpunkt nicht. Prüfen Sie in diesem Fall die Reihenfolge. Der angezeigte Umlaufsinn hilft dabei: Er verrät, ob Sie die Punkte gegen oder im Uhrzeigersinn eingegeben haben.
Flächen mit Löchern, etwa ein Rechteck mit Bohrung, rechnen Sie in zwei Schritten: Schwerpunkt und Fläche der Außenkontur und des Lochs getrennt bestimmen, dann die Momente der Außenfläche minus der Lochfläche durch die Restfläche teilen. Rundungen nähern Sie mit ausreichend vielen Punkten an. Für Trägheitsmomente typischer Querschnitte gibt es den Flächenträgheitsmoment-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Flächen ausmessen.
- Reihenfolge: Am Rand entlang.
- Einheit: Einheitlich.
- Löcher: Getrennt abziehen.
- Rundungen: Mehr Punkte.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Muss ich den ersten Punkt am Ende wiederholen?
Nein, das Polygon wird automatisch geschlossen.
Spielt die Richtung der Eingabe eine Rolle?
Nein, im und gegen den Uhrzeigersinn ergeben denselben Schwerpunkt.
Funktioniert das auch für nicht konvexe Flächen?
Ja, solange sich die Kanten nicht überkreuzen.
Wie berechne ich den Schwerpunkt eines L-Profils?
Eckpunkte eingeben oder in zwei Rechtecke zerlegen und gewichtet mitteln.
Kann der Schwerpunkt außerhalb der Fläche liegen?
Ja, bei stark gekrümmten oder hohlen Formen ist das möglich.
- Flächenschwerpunkt berechnen
- Schwerpunkt Polygon
- Schwerpunkt L-Profil
- Schwerpunkt zusammengesetzte Fläche
- Shoelace Formel Schwerpunkt
- Schwerpunkt Koordinaten berechnen
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