Was ägyptische Brüche sind
Im alten Ägypten wurden Brüche fast ausschließlich als Summen verschiedener Stammbrüche geschrieben, also von Brüchen mit dem Zähler 1. Eine Ausnahme bildete nur 2/3. Der Papyrus Rhind aus der Zeit um 1550 vor Christus enthält eine Tabelle, die 2/n für alle ungeraden n von 5 bis 101 in solche Summen zerlegt. Man nennt diese Darstellung deshalb ägyptische Brüche.
Jeder positive rationale Bruch lässt sich so schreiben. Ein einfaches Verfahren beschrieb Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, 1202 in seinem Liber Abaci; James Joseph Sylvester bewies 1880, dass es immer endet. Man zieht jeweils den größten Stammbruch ab, der noch in den Rest passt. Sein Nenner ist der aufgerundete Kehrwert des Restes. Weil der Zähler des Restes bei jedem Schritt kleiner wird, bricht das Verfahren nach endlich vielen Schritten ab.
Der Rechner arbeitet mit beliebig großen Ganzzahlen. Das ist nötig, denn die Nenner wachsen beim Greedy-Verfahren mitunter rasant. Für 5/121 entstehen fünf Stammbrüche, der letzte Nenner hat 25 Stellen. Unechte Brüche zerlegt der Rechner in einen ganzzahligen Anteil und einen echten Bruch.
Greedy-Verfahren und kürzere Zerlegungen
Das Greedy-Verfahren liefert immer eine gültige, aber nicht immer die kürzeste oder schönste Zerlegung. Für 5/121 findet es fünf Glieder mit riesigen Nennern, obwohl 5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/363 mit drei kleinen Nennern ebenfalls stimmt. Die Ägypter wählten in ihren Tabellen bevorzugt kurze Summen mit kleinen, geraden Nennern, die sich leicht weiterverarbeiten ließen.
Praktisch nützlich war die Darstellung beim Teilen. Sollen fünf Brote gerecht unter acht Personen verteilt werden, ergibt 5/8 = 1/2 + 1/8: Jede Person erhält ein halbes Brot und ein Achtel. Das lässt sich ohne Bruchrechnung durch Halbieren und Achteln umsetzen und gleich große Stücke sind leicht zu prüfen.
In der Zahlentheorie sind ägyptische Brüche bis heute ein Forschungsgegenstand. Die Vermutung von Erdős und Straus besagt, dass sich 4/n für jedes n ab 2 als Summe von höchstens drei Stammbrüchen schreiben lässt. Sie ist für sehr große Zahlenbereiche durch Computer bestätigt, aber nicht allgemein bewiesen.
Der Rechner kürzt den Bruch vor der Zerlegung, damit gleiche Ergebnisse für gleiche Werte entstehen. Mehr als 25 Glieder werden nicht berechnet. Für gewöhnliches Bruchrechnen nutzen Sie den Bruchrechner, für die Darstellung als fortgesetzte Division den Kettenbruch-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Brüche zerlegen.
- Kürzen: Zuerst.
- Greedy: Größter Stammbruch.
- Prüfen: Summe nachrechnen.
- Kurz: Andere Wege testen.
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Häufige Fragen
Was ist ein Stammbruch?
Ein Bruch mit dem Zähler 1, zum Beispiel 1/4 oder 1/18.
Lässt sich jeder Bruch als ägyptischer Bruch schreiben?
Ja, jeder positive rationale Bruch, und zwar sogar auf unendlich viele Arten.
Liefert der Rechner die kürzeste Zerlegung?
Nein, das Greedy-Verfahren ist einfach, aber nicht immer optimal.
Warum benutzten die Ägypter Stammbrüche?
Ihre Schreibweise kannte fast nur Brüche mit Zähler 1, dazu 2/3.
Gibt es mehrere Zerlegungen?
Ja, jeder Bruch hat unendlich viele Darstellungen als Summe verschiedener Stammbrüche.
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