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Mathe & Formeln

Partialbruchzerlegung berechnen

Tragen Sie die Koeffizienten von Zähler und Nenner ein. Der Rechner bestimmt die Nullstellen des Nenners und zerlegt den Bruch in einfache Teilbrüche.

Ihre gebrochenrationale Funktion
Darf nicht 0 sein.
Ergebnis

Wozu Partialbrüche gebraucht werden

Die Partialbruchzerlegung schreibt einen komplizierten Bruch als Summe einfacher Brüche. Aus (5x + 1) ÷ (x² + x − 2) wird so 2 ÷ (x − 1) + 3 ÷ (x + 2). Die einzelnen Teile lassen sich viel leichter integrieren, ableiten oder in Reihen entwickeln. In der Analysis ist das der Standardweg, um rationale Funktionen zu integrieren; in der Regelungstechnik und Signalverarbeitung braucht man dasselbe Verfahren für die Rücktransformation aus dem Laplace- oder z-Bereich.

Dieser Rechner behandelt den häufigsten Fall aus Übungsaufgaben: einen Nenner zweiten Grades und einen Zähler bis zum zweiten Grad. Ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad, spaltet er zuerst den konstanten Polynomanteil ab. Danach unterscheidet er drei Fälle nach der Diskriminante des Nenners.

Zwei verschiedene reelle Nullstellen führen auf A ÷ (x − x₁) + B ÷ (x − x₂). Eine doppelte Nullstelle führt auf A ÷ (x − x₀) + B ÷ (x − x₀)². Hat der Nenner keine reellen Nullstellen, ist er über den reellen Zahlen nicht zerlegbar, und der Bruch bleibt in dieser Form stehen.

Fu¨r x2+p x+q=(x−x1) (x−x2): A=a x1+bx1−x2 , B=a x2+bx2−x1 , wobei a x+b der Restza¨hler ist\text{Für x}^{2} + \text{p x} + q = \left(x - x_{1}\right)\,\left(x - x_{2}\right):\ A = \frac{\text{a x}_{1} + b}{x_{1} - x_{2}}\,{,}\ B = \frac{\text{a x}_{2} + b}{x_{2} - x_{1}}\,{,}\ \text{wobei a x} + \text{b der Restzähler ist}

Beispiel: (5x + 1) ÷ (x² + x − 2): Die Diskriminante (p/2)² − q beträgt 2,25, die Nullstellen des Nenners sind x₁ = 1 und x₂ = −2. Es folgt A = (5 · 1 + 1) ÷ 3 = 2 und B = (5 · (−2) + 1) ÷ (−3) = 3. Ergebnis: 2/(x − 1) + 3/(x + 2).

Vorgehen von Hand und typische Fehler

Von Hand beginnt man mit dem Gradvergleich. Ist der Zählergrad nicht kleiner als der Nennergrad, kommt zuerst die Polynomdivision. Dann faktorisiert man den Nenner, setzt den Ansatz mit unbekannten Koeffizienten an und multipliziert mit dem Hauptnenner. Die Koeffizienten erhält man durch Koeffizientenvergleich oder schneller mit der Zuhaltemethode: Man setzt die Nullstelle ein und hält den zugehörigen Faktor im Nenner zu.

Ein häufiger Fehler ist ein Leitkoeffizient ungleich 1 im Nenner. Bei 2x² − 2 muss der Faktor 2 berücksichtigt werden, sonst sind A und B doppelt so groß wie richtig. Der Rechner normiert den Nenner deshalb intern und rechnet die Koeffizienten passend um.

Bei doppelten Nullstellen reicht ein einziger Teilbruch nicht aus. Der Ansatz braucht den einfachen und den quadrierten Linearfaktor. Wer das vergisst, findet keine passenden Koeffizienten.

Zur Probe bringen Sie die Teilbrüche wieder auf den Hauptnenner und vergleichen den Zähler mit dem Ausgangsbruch. Die Ergebnisse sind auf vier Nachkommastellen gerundet; bei krummen Nullstellen sollten Sie für exakte Werte mit Wurzelausdrücken weiterrechnen.

Tipps und typische Fehler

Brüche zerlegen.

  • Grad: Erst vergleichen.
  • Nenner: Normieren.
  • Doppelt: Quadratischer Ansatz.
  • Probe: Hauptnenner bilden.

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Häufige Fragen

Wann ist eine Polynomdivision vor der Partialbruchzerlegung nötig?

Wenn der Zählergrad mindestens so groß ist wie der Nennergrad; der Rechner erledigt das für Grad 2 automatisch.

Was passiert bei komplexen Nullstellen des Nenners?

Über den reellen Zahlen bleibt der quadratische Nenner unzerlegt stehen.

Wie lautet der Ansatz bei einer doppelten Nullstelle?

A ÷ (x − x₀) + B ÷ (x − x₀)², also mit einfachem und quadriertem Faktor.

Was ist die Zuhaltemethode?

Man setzt eine Nullstelle des Nenners ein und hält den zugehörigen Linearfaktor zu; der Rest liefert den Koeffizienten.

Wozu braucht man Partialbrüche beim Integrieren?

Einfache Teilbrüche lassen sich direkt zu Logarithmen oder Potenzen integrieren.

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