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Benfordsches Gesetz prüfen

Fügen Sie eine Liste von Zahlen ein, etwa Rechnungsbeträge oder Messwerte. Der Rechner zählt die ersten Ziffern und vergleicht sie mit der Verteilung nach Benford.

Ihre Zahlen
Deutsches oder englisches Zahlenformat; Einträge ohne Ziffer 1 bis 9 werden übersprungen.
Ergebnis

Warum die Eins so oft vorne steht

Schaut man sich die erste Ziffer vieler natürlich entstandener Zahlen an, etwa Einwohnerzahlen, Flusslängen, Rechnungsbeträge oder Aktienkurse, dann ist sie erstaunlich oft eine 1. Rund 30 Prozent der Zahlen beginnen mit 1, nur knapp 5 Prozent mit 9. Dieses Muster beschrieb der Astronom Simon Newcomb schon 1881, bekannt wurde es durch den Physiker Frank Benford, der es 1938 an über 20.000 Datensätzen nachwies.

Die Erklärung liegt im logarithmischen Wachstum. Um von 1.000 auf 2.000 zu wachsen, muss sich ein Wert verdoppeln; von 9.000 auf 10.000 genügen gut 11 Prozent. Werte, die sich über mehrere Größenordnungen verteilen, verweilen deshalb länger im Bereich der führenden 1. Die erwartete Häufigkeit der Anfangsziffer d beträgt log₁₀(1 + 1 ÷ d).

Der Rechner liest Ihre Zahlen ein, bestimmt die erste von null verschiedene Ziffer und vergleicht die beobachteten Anteile mit den erwarteten. Als Prüfgrößen gibt er den Chi-Quadrat-Wert mit p-Wert und die mittlere absolute Abweichung (MAD) aus, die der Prüfungsexperte Mark Nigrini für Benford-Analysen vorgeschlagen hat.

Erwarteter Anteil P (d)=log10 (1+1d); χ2=∑ (beobachtet−erwartet)2erwartet u¨ber d=1 bis 9; MAD=∑ ∣ p (beob .)−p (erw .) ∣9\text{Erwarteter Anteil P}\,\left(d\right) = \text{log}_{10}\,\left(1 + \frac{1}{d}\right);\ χ^{2} = \frac{\sum\,\left(\text{beobachtet} - \text{erwartet}\right)^{2}}{\text{erwartet über d}} = 1\,\text{bis}\,9;\ \text{MAD} = \sum\,|\,p\,\left(\text{beob}\,.\right) - \frac{p\,\left(\text{erw}\,.\right)\,|}{9}

Beispiel: Die 40 voreingestellten Rechnungsbeträge beginnen zu 35 Prozent mit einer 1 (erwartet 30,1 Prozent) und zu 17,5 Prozent mit einer 2 (erwartet 17,6 Prozent). Der Chi-Quadrat-Wert beträgt 1,39 bei 8 Freiheitsgraden, der p-Wert 0,9944. Es gibt also keine signifikante Abweichung. Die MAD liegt bei 0,0143, nach Nigrini grenzwertig, was bei nur 40 Werten aber kaum aussagekräftig ist.

Einsatz in Prüfung und Statistik, und seine Grenzen

Wirtschaftsprüfer, Steuerprüfer und Forensiker nutzen die Benford-Analyse als Suchwerkzeug. Wer Zahlen erfindet, verteilt die Anfangsziffern meist zu gleichmäßig oder bevorzugt bestimmte Werte, etwa Beträge knapp unter einer Freigabegrenze. Solche Muster fallen im Vergleich mit der Benford-Verteilung auf. Eine Abweichung ist aber kein Beweis für Manipulation, sondern nur ein Anlass, genauer hinzusehen. Dieser Rechner ersetzt keine Prüfung durch Fachleute und keine rechtliche Bewertung.

Nicht jede Zahlenreihe muss Benford folgen. Ungeeignet sind Daten mit festen Grenzen oder einem engen Wertebereich, etwa Körpergrößen, Schulnoten oder Preise, die immer auf 9,99 enden. Ebenso wenig passen fortlaufend vergebene Nummern wie Rechnungs- oder Postleitzahlen. Geeignet sind Daten, die sich über mehrere Zehnerpotenzen erstrecken und aus Multiplikation oder Wachstum entstehen.

Die Aussagekraft hängt stark von der Menge ab. Bei weniger als etwa 100 Werten erkennt der Chi-Quadrat-Test nur grobe Abweichungen. Die MAD-Grenzen von Nigrini (bis 0,006 enge, bis 0,012 akzeptable, bis 0,015 grenzwertige Übereinstimmung) sind für große Datenbestände mit vielen hundert oder tausend Werten gedacht. Umgekehrt wird der Chi-Quadrat-Test bei sehr großen Datenmengen schon bei praktisch unbedeutenden Abweichungen signifikant; dort ist die MAD das bessere Maß.

Zur Eingabe: Zahlen können in deutschem oder englischem Format eingefügt werden, weil nur die erste Ziffer zählt. Führende Nullen, Vorzeichen und Dezimaltrennzeichen werden übersprungen. Einträge mit Buchstaben oder Währungszeichen werden als übersprungen gezählt; entfernen Sie Einheiten am besten vor dem Einfügen.

Tipps und typische Fehler

Daten prüfen.

  • Menge: Viele Werte.
  • Spanne: Mehrere Zehnerpotenzen.
  • Nummern: Ungeeignet.
  • Abweichung: Nur ein Hinweis.

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Häufige Fragen

Was besagt das Benfordsche Gesetz?

In vielen natürlichen Datensätzen beginnen etwa 30,1 Prozent der Zahlen mit 1 und nur 4,6 Prozent mit 9.

Beweist eine Abweichung von Benford eine Fälschung?

Nein, sie ist nur ein Hinweis, der eine genauere Prüfung rechtfertigt.

Wie viele Zahlen braucht ein Benford-Test?

Für belastbare Aussagen mehrere hundert; ab etwa 100 Werten sind grobe Abweichungen erkennbar.

Folgen Lottozahlen dem Benfordschen Gesetz?

Nein, sie sind gleichverteilt in einem festen Bereich und daher ungeeignet.

Gibt es auch einen Test für die zweite Ziffer?

Ja, auch die zweite Ziffer folgt einer Benford-Verteilung, die aber deutlich flacher ist.

Auch gesucht als:
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