Der Körper hinter Schüssel und Spiegel
Ein Rotationsparaboloid entsteht, wenn sich eine Parabel um ihre Symmetrieachse dreht. Die Form kennen Sie von Satellitenschüsseln, Scheinwerfern, Solarkochern und Radioteleskopen. Auch die Oberfläche einer Flüssigkeit in einem schnell rotierenden Gefäß nimmt diese Form an. Der Grund für die technische Beliebtheit: Alle parallel zur Achse einfallenden Strahlen werden in einem einzigen Punkt gebündelt, dem Brennpunkt.
Das Volumen eines Paraboloids ist genau halb so groß wie das eines Zylinders mit gleichem Radius und gleicher Höhe. Diesen Zusammenhang hat schon Archimedes gefunden. Die gekrümmte Mantelfläche ist dagegen aufwendiger; sie ergibt sich aus einem Integral, dessen Lösung im Rechner hinterlegt ist.
Die Brennweite f folgt direkt aus den Abmessungen: Für eine Parabel z = x² ÷ (4f) gilt am Rand r² = 4 f h, also f = r² ÷ (4h). Flache Schüsseln haben eine lange Brennweite, tiefe eine kurze. So lässt sich zum Beispiel bestimmen, wo der Empfangskopf einer Antenne oder der Topf eines Solarkochers sitzen muss.
Füllhöhe, Flächenbedarf und Brennpunkt in der Praxis
Bei halber Füllhöhe ist ein Paraboloid nur zu einem Viertel gefüllt. Der Grund: Das Füllvolumen wächst mit dem Quadrat der Füllhöhe, weil sich das Gefäß nach oben öffnet. Für Schalen, Trichter oder Becken mit parabolischem Querschnitt heißt das, dass die oberen Zentimeter den größten Teil des Inhalts ausmachen. Die Füllhöhe wird dabei immer vom tiefsten Punkt, dem Scheitel, aus gemessen.
Die Mantelfläche ist wichtig, wenn Sie Material für eine Schüssel zuschneiden, eine Beschichtung planen oder eine Spiegelfolie aufbringen möchten. Rechnen Sie für Überlappungen und Verschnitt einen Zuschlag ein, denn eine gekrümmte Fläche lässt sich nicht ohne Falten aus einem ebenen Stück formen.
Liegt die Brennweite innerhalb der Schüssel, also kleiner als die Höhe, sitzt der Brennpunkt im Inneren. Das schützt bei Solarkochern vor Blendung, bei Scheinwerfern bündelt es das Licht der Lampe besonders effektiv. Satellitenschüsseln sind meist als Offset-Antennen gebaut, bei denen nur ein Ausschnitt eines großen Paraboloids verwendet wird; deren Brennpunkt liegt seitlich versetzt, und die einfache Formel gilt dort nur für das gedachte Gesamtparaboloid.
Alle Längen werden in derselben Einheit eingegeben. Bei Zentimetern erhalten Sie Kubikzentimeter, die der Rechner zusätzlich in Liter umrechnet. Für andere Rotationskörper eignet sich der allgemeine Rotationskörper-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Schüsseln berechnen.
- Tiefe: In der Mitte messen.
- Brennweite: r² ÷ 4h.
- Füllen: Quadratisch.
- Zuschnitt: Verschnitt einplanen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wie groß ist das Volumen eines Paraboloids im Vergleich zum Zylinder?
Genau halb so groß wie ein Zylinder mit gleichem Radius und gleicher Höhe.
Wie berechnet man den Brennpunkt einer Parabolschüssel?
Brennweite f = r² ÷ (4h), gemessen vom Scheitel entlang der Achse.
Warum ist ein Paraboloid bei halber Höhe nur zu einem Viertel gefüllt?
Das Füllvolumen wächst mit dem Quadrat der Füllhöhe.
Wie finde ich den Brennpunkt einer Satellitenschüssel?
Bei symmetrischen Schüsseln mit f = r² ÷ (4h); bei Offset-Antennen weicht die Lage ab.
Wer hat das Paraboloidvolumen zuerst berechnet?
Archimedes zeigte, dass es die Hälfte des umschriebenen Zylinders ist.
- Paraboloid berechnen
- Rotationsparaboloid Volumen
- Paraboloid Oberfläche
- Parabolspiegel Brennweite
- Satellitenschüssel Brennpunkt
- Paraboloid Mantelfläche
Alle Berechnungen erfolgen direkt in Ihrem Browser, Ihre Eingaben werden nicht übertragen oder gespeichert. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte ohne Gewähr und ersetzen keine steuerliche, rechtliche oder finanzielle Beratung. Die Erklärtexte auf dieser Seite wurden mit KI erstellt. Letzte inhaltliche Änderung dieser Seite: . Mehr dazu: So entstehen und prüfen wir die Rechner.