Das berühmteste Rätsel der Wahrscheinlichkeitsrechnung
In einer Spielshow stehen drei Türen zur Wahl. Hinter einer wartet ein Auto, hinter den beiden anderen je eine Ziege. Sie wählen eine Tür. Der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, öffnet eine der anderen Türen und zeigt eine Ziege. Dann fragt er: Wollen Sie wechseln? Die meisten Menschen halten die Chancen nun für 50 zu 50. Tatsächlich gewinnen Sie mit Wechsel in zwei von drei Fällen.
Die Erklärung: Ihre erste Wahl trifft nur mit Wahrscheinlichkeit 1/3 das Auto. Mit 2/3 steht es hinter einer der beiden anderen Türen. Der Moderator ändert daran nichts, er nimmt Ihnen nur die Arbeit ab, die falsche dieser beiden Türen auszusortieren. Die gesamten 2/3 konzentrieren sich deshalb auf die verbleibende Tür.
Der Rechner verallgemeinert das Problem auf beliebig viele Türen und beliebig viele geöffnete Nieten. Bei 10 Türen, von denen der Moderator 8 Nieten öffnet, gewinnen Sie mit Wechsel in 90 Prozent der Fälle und ohne Wechsel nur in 10 Prozent. Spätestens hier wird die Intuition deutlich: Die eine übrig gelassene Tür ist offensichtlich verdächtig.
Warum es auf das Wissen des Moderators ankommt
Das Ergebnis hängt an einer Annahme, die in der ursprünglichen Fragestellung oft unklar bleibt: Der Moderator muss wissen, wo der Gewinn steht, und darf niemals das Auto zeigen. Öffnet er dagegen zufällig eine Tür und kommt dabei nur zufällig eine Ziege zum Vorschein, steigen beide verbleibenden Türen gleichmäßig auf 50 Prozent. Der Wechsel bringt dann weder Vor- noch Nachteil. Diesen Fall können Sie im Auswahlfeld einstellen.
Der Unterschied liegt in der Information. Ein wissender Moderator wird durch die Regel gezwungen, eine bestimmte Tür offen zu lassen, und gibt damit einen Hinweis. Ein zufällig öffnender Moderator hätte ebenso gut das Auto aufdecken können; dass er es nicht getan hat, macht beide geschlossenen Türen gleich wahrscheinlich.
Bleiben nach dem Öffnen mehrere geschlossene Türen übrig, verteilt sich die Wahrscheinlichkeit der nicht gewählten Türen gleichmäßig auf sie. Wechseln lohnt sich beim wissenden Moderator trotzdem immer, nur ist der Vorteil kleiner. Bei 5 Türen und einer geöffneten Niete steigt die Chance von 20 auf 26,67 Prozent.
Die erwarteten Gewinne bei vielen Spielen sind Durchschnittswerte. In einzelnen kurzen Serien kann der Zufall deutlich davon abweichen. Wer das Problem selbst ausprobieren möchte, spielt es mit drei Spielkarten und einer Mitspielerin als Moderatorin zwanzig- oder dreißigmal durch und zählt mit.
Tipps und typische Fehler
Richtig entscheiden.
- Wechseln: Bei wissendem Moderator.
- Zufall: Dann 50 zu 50.
- Viele Türen: Intuition schärfen.
- Testen: Mit Karten spielen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Warum lohnt sich beim Ziegenproblem das Wechseln?
Die erste Wahl trifft nur mit 1/3; die übrigen 2/3 gehen nach dem Öffnen einer Niete auf die verbleibende Tür über.
Gilt das Ergebnis auch, wenn der Moderator zufällig öffnet?
Nein, dann sind beide geschlossenen Türen gleich wahrscheinlich, also je 50 Prozent bei drei Türen.
Wie hoch ist die Gewinnchance mit Wechsel bei 10 Türen?
90 Prozent, wenn der Moderator acht Nieten öffnet und eine Tür übrig lässt.
Warum heißt es Monty-Hall-Problem?
Nach Monty Hall, dem Moderator der US-Spielshow Let’s Make a Deal.
Wer hat das Ziegenproblem bekannt gemacht?
Die Kolumnistin Marilyn vos Savant löste 1990 eine heftige Debatte aus, als sie zum Wechseln riet.
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