Warum Wachstum nicht unbegrenzt weitergeht
Exponentielles Wachstum setzt voraus, dass Platz, Nahrung oder Kundschaft unbegrenzt vorhanden sind. In der Wirklichkeit stößt fast jedes Wachstum an eine Grenze. Eine Hefekultur füllt irgendwann ihr Glas, eine neue App erreicht irgendwann fast alle Interessierten, ein Gerücht kennt bald jeder im Ort. Das logistische Modell bildet genau diesen Verlauf ab: Am Anfang wächst der Bestand fast exponentiell, dann bremst er ab und nähert sich der Kapazitätsgrenze K, ohne sie zu überschreiten.
Typisch ist die S-förmige Kurve. Der Wendepunkt liegt immer bei der halben Kapazität. Dort ist die Zunahme pro Zeiteinheit am größten, sie beträgt r · K ÷ 4. Danach wird der Zuwachs von Zeitschritt zu Zeitschritt kleiner, weil der verbleibende Spielraum K − N schrumpft.
Der Rechner gibt Ihnen neben dem Bestand zum gewählten Zeitpunkt auch den Anteil an der Kapazität, die momentane Zunahme, den Zeitpunkt des Wendepunkts und die Zeit, bis 90 Prozent der Sättigung erreicht sind. Die Zeiteinheit bestimmen Sie selbst: Ist die Rate in Prozent pro Tag angegeben, sind auch alle Zeiten in Tagen zu lesen.
Parameter richtig wählen und deuten
Die Wachstumsrate r ist die Rate am Anfang, wenn der Bestand im Vergleich zur Grenze noch klein ist. Wer aus Messdaten nur die Verdopplungszeit kennt, rechnet sie so um: r ≈ ln 2 ÷ Verdopplungszeit. Eine Verdopplung alle zwei Tage entspricht damit rund 34,7 Prozent pro Tag. Für die Anpassung an echte Messreihen ist zusätzlich ein Regressionsverfahren nötig, weil K oft nicht bekannt ist.
Die Kapazitätsgrenze ist in der Biologie die Tragfähigkeit eines Lebensraums, im Marketing die Zahl der potenziellen Kunden, in der Technik etwa die maximale Marktdurchdringung eines Produkts. Ist K falsch geschätzt, verschiebt sich vor allem die zweite Hälfte der Kurve. Prüfen Sie Prognosen daher mit mehreren Werten für K.
Liegt der Startbestand schon über der halben Kapazität, ist der Wendepunkt bereits überschritten. Der Rechner weist dann darauf hin. Ein Startbestand über K würde zu einem abnehmenden Bestand führen und ist hier nicht vorgesehen.
Das Modell ist eine Vereinfachung. Echte Populationen schwanken, Märkte verändern ihre Größe, und äußere Einflüsse ändern die Rate. Für einen ersten Überblick und für Aufgaben im Mathematik- oder Biologieunterricht ist die logistische Funktion aber das Standardwerkzeug.
Tipps und typische Fehler
S-Kurven deuten.
- Rate: Anfangswert verwenden.
- Grenze: Mehrere K testen.
- Wendepunkt: Bei K ÷ 2.
- Einheit: Zeit einheitlich wählen.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Wo liegt der Wendepunkt beim logistischen Wachstum?
Immer bei der halben Kapazitätsgrenze K ÷ 2; dort ist die Zunahme am größten.
Was ist der Unterschied zu exponentiellem Wachstum?
Exponentielles Wachstum steigt unbegrenzt, logistisches nähert sich einer Obergrenze K.
Welche Einheit hat die Wachstumsrate?
Prozent pro Zeiteinheit; alle Zeitangaben im Ergebnis gelten in derselben Einheit.
Wie bestimme ich die Wachstumsrate aus der Verdopplungszeit?
Näherungsweise r = ln 2 ÷ Verdopplungszeit, solange der Bestand noch weit unter K liegt.
Kann der Bestand die Kapazitätsgrenze überschreiten?
Im logistischen Modell nicht; er nähert sich K nur immer weiter an.
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