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Mathe & Statistik

Kruskal-Wallis-Test berechnen

Geben Sie die Messwerte von drei oder vier unabhängigen Gruppen ein. Der Rechner vergibt gemeinsame Ränge, bestimmt die Prüfgröße H und den p-Wert.

Ihre Gruppen
Werte durch Leerzeichen oder Semikolon trennen, Dezimalkomma ist erlaubt.
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Leer lassen, wenn Sie nur drei Gruppen vergleichen.
Üblich sind 5 % oder 1 %.
Ergebnis

Die Rangvarianzanalyse für mehrere Gruppen

Der Kruskal-Wallis-Test ist das rangbasierte Gegenstück zur einfaktoriellen Varianzanalyse. Er prüft, ob drei oder mehr unabhängige Gruppen aus derselben Verteilung stammen. Typische Fälle sind Zufriedenheitswerte aus mehreren Filialen, Ertragsmessungen unter verschiedenen Düngern oder Schmerzskalen in drei Behandlungsgruppen. Weil er nur mit Rängen arbeitet, setzt er weder Normalverteilung noch gleiche Varianzen voraus und eignet sich auch für ordinale Daten wie Schulnoten.

Alle Werte werden gemeinsam sortiert und durchnummeriert. Gleiche Werte erhalten den Mittelwert der Ränge, die sie belegen. Anschließend summiert der Rechner die Ränge je Gruppe. Liegen die mittleren Ränge weit auseinander, wird H groß. Die Bindungskorrektur teilt H durch einen Faktor, der berücksichtigt, wie viele gleiche Werte vorkommen. Ohne Bindungen sind beide H-Werte identisch.

Für den p-Wert nutzt der Rechner die Chi-Quadrat-Verteilung mit k − 1 Freiheitsgraden, wie es in der Literatur nach Kruskal und Wallis (1952) üblich ist. Diese Näherung ist ab etwa fünf Werten je Gruppe brauchbar. Bei kleineren Gruppen weist das Ergebnis darauf hin, dass exakte Tabellen genauer sind.

H=12⋅∑ (Ri2ni)N⋅(N+1)−3⋅(N+1); Hkorr=H1−∑ (t3−t)N3−N; ε2=HN−1H = \frac{12 \cdot \sum\,\left(\frac{R_{i}^{2}}{n_{i}}\right)}{N \cdot \left(N + 1\right)} - 3 \cdot \left(N + 1\right);\ H_{\text{korr}} = \frac{H}{1 - \frac{\sum\,\left(t^{3} - t\right)}{N^{3} - N}};\ \varepsilon^{2} = \frac{H}{N - 1}

Beispiel: Drei Gruppen mit je fünf Werten: Gruppe 1 hat 7, 8, 6, 9 und 7, Gruppe 2 hat 10, 12, 11, 9 und 13, Gruppe 3 hat 14, 15, 12, 16 und 13. Die Rangsummen betragen 15,5, 41,5 und 63, die mittleren Ränge 3,10, 8,30 und 12,60. H ohne Korrektur ist 11,315, mit Bindungskorrektur für vier Paare gleicher Werte 11,396. Bei zwei Freiheitsgraden ergibt sich ein p-Wert von 0,0034. Der Unterschied ist bei α = 5 % signifikant, die Effektstärke ε² beträgt 0,814.

Ergebnis richtig einordnen

Ein signifikanter H-Wert sagt nur, dass sich mindestens eine Gruppe von den anderen unterscheidet. Welche das ist, zeigt der Test nicht. Dafür folgen paarweise Vergleiche, meist der Dunn-Test oder einzelne Mann-Whitney-U-Tests. Weil dabei mehrere Tests gleichzeitig laufen, muss das Signifikanzniveau angepasst werden, etwa nach Bonferroni oder Holm.

Die Effektstärke ε² liegt zwischen 0 und 1 und beschreibt, wie viel der Rangvariation auf die Gruppenzugehörigkeit zurückgeht. Als grobe Orientierung gelten Werte ab 0,01 als klein, ab 0,08 als mittel und ab 0,26 als groß. Bei sehr kleinen Stichproben fällt ε² oft hoch aus, deshalb sollten Sie es zusammen mit den Rohdaten betrachten.

Der Test vergleicht streng genommen Verteilungen, nicht Mediane. Nur wenn die Gruppen ähnlich geformte Verteilungen haben, die sich lediglich verschieben, lässt sich das Ergebnis als Unterschied der Mediane lesen. Unterscheiden sich die Streuungen stark, kann der Test auch ohne Lageunterschied anschlagen.

Abhängige Messungen, etwa dieselben Personen zu drei Zeitpunkten, gehören nicht in diesen Test. Dafür ist der Friedman-Test gedacht. Sind die Daten normalverteilt, hat die klassische ANOVA mehr Teststärke. Die Ergebnisse dieses Rechners dienen der Auswertung und ersetzen keine statistische Beratung bei Abschlussarbeiten oder Studien.

Tipps und typische Fehler

Rangtests sauber auswerten.

  • Unabhängig: Gruppen getrennt.
  • Fünf Werte: Je Gruppe.
  • Post hoc: Dunn-Test.
  • Effekt: ε² angeben.

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Häufige Fragen

Wann nehme ich Kruskal-Wallis statt ANOVA?

Wenn die Daten ordinal sind, deutlich schief verteilt sind oder Ausreißer enthalten.

Was bedeutet die Bindungskorrektur?

Sie gleicht aus, dass gleiche Werte gemittelte Ränge erhalten und die Rangvarianz verringern.

Wie viele Werte braucht jede Gruppe?

Mindestens zwei, für eine verlässliche Chi-Quadrat-Näherung besser fünf oder mehr.

Welcher Post-hoc-Test folgt auf Kruskal-Wallis?

Meist der Dunn-Test mit Bonferroni- oder Holm-Korrektur.

Prüft Kruskal-Wallis Mediane?

Nur bei ähnlich geformten Verteilungen; streng genommen vergleicht er Verteilungen.

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