So funktioniert das Gram-Schmidt-Verfahren
Das Verfahren von Gram und Schmidt macht aus einer Menge linear unabhängiger Vektoren eine Orthonormalbasis desselben Unterraums. Die Idee ist einfach: Der erste Vektor wird nur auf Länge 1 gebracht. Vom zweiten Vektor wird sein Anteil in Richtung des ersten abgezogen, sodass ein senkrechter Rest übrig bleibt, der dann normiert wird. Vom dritten werden die Anteile in Richtung der beiden ersten abgezogen, und so weiter.
Der abgezogene Anteil ist die orthogonale Projektion ⟨v, e⟩ · e, wobei ⟨v, e⟩ das Skalarprodukt ist. Der Rechner verwendet das Standardskalarprodukt, also die Summe der Produkte der Komponenten. Die Zwischenvektoren uk vor dem Normieren sind bereits paarweise senkrecht zueinander und bilden eine Orthogonalbasis. Auf Wunsch gibt der Rechner diese statt der normierten Vektoren als Hauptergebnis aus.
Gerechnet wird mit dem modifizierten Gram-Schmidt-Verfahren und einer zweiten Orthogonalisierung, wie sie in der numerischen linearen Algebra empfohlen wird, etwa bei Golub und Van Loan. Das klassische Verfahren aus dem Lehrbuch liefert rechnerisch dasselbe, verliert aber bei fast parallelen Vektoren durch Rundung schnell an Orthogonalität.
Lineare Abhängigkeit, Volumen und Anwendungen
Ist ein Vektor eine Linearkombination der vorherigen, bleibt nach dem Abziehen der Projektionen nur der Nullvektor übrig, der sich nicht normieren lässt. Der Rechner erkennt das an einem Rest, dessen Länge im Verhältnis zum ursprünglichen Vektor praktisch null ist, meldet die Nummer des Vektors und überspringt ihn. Die Zahl der verbleibenden Basisvektoren ist dann die Dimension des aufgespannten Raums, also der Rang der Vektoren.
Die Längen der Zwischenvektoren haben eine geometrische Bedeutung. |uk| ist der Abstand des Vektors vk vom Unterraum, den die vorherigen Vektoren aufspannen. Ihr Produkt ist das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelotops, im Dreidimensionalen also des Spats. Bei n Vektoren im n-dimensionalen Raum ist es der Betrag der Determinante der Matrix aus diesen Vektoren. Im Beispiel ist die Determinante −2, ihr Betrag 2.
Orthonormalbasen sind in vielen Gebieten nützlich. In einer solchen Basis lassen sich Koordinaten einfach über Skalarprodukte bestimmen, Projektionen auf Unterräume werden zu einer Summe, und Abstände bleiben erhalten. Das Verfahren ist die Grundlage der QR-Zerlegung, bei der die Spalten einer Matrix orthonormalisiert werden. Sie wird für Ausgleichsrechnungen nach der Methode der kleinsten Quadrate und für die Berechnung von Eigenwerten verwendet.
Das Ergebnis hängt von der Reihenfolge der Eingabevektoren ab. Der erste Basisvektor zeigt immer in Richtung des ersten Eingabevektors, die weiteren werden daran ausgerichtet. Vertauscht man die Vektoren, erhält man eine andere, aber ebenso gültige Orthonormalbasis desselben Raums. Die Prüfung am Ende berechnet alle Skalarprodukte der Basisvektoren untereinander und meldet die größte Abweichung von 0 beziehungsweise 1.
Tipps und typische Fehler
Orthogonal arbeiten.
- Reihenfolge: Bestimmt die Basis.
- Abhängig: Wird erkannt.
- Probe: Skalarprodukte 0.
- Normieren: Am Ende.
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Häufige Fragen
Was ist eine Orthonormalbasis?
Eine Basis aus Vektoren der Länge 1, die paarweise senkrecht zueinander stehen. Das Skalarprodukt zweier verschiedener Basisvektoren ist 0, das eines Vektors mit sich selbst 1.
Was passiert bei linear abhängigen Vektoren?
Der abhängige Vektor wird beim Orthogonalisieren zum Nullvektor. Der Rechner meldet ihn und überspringt ihn, die Basis hat dann weniger Vektoren.
Warum modifiziertes Gram-Schmidt?
Weil das klassische Verfahren bei fast parallelen Vektoren durch Rundungsfehler die Orthogonalität verliert. Die modifizierte Variante mit Nachorthogonalisierung ist numerisch deutlich stabiler.
Wozu braucht man eine Orthonormalbasis?
Koordinaten, Projektionen und Abstände lassen sich darin allein mit Skalarprodukten berechnen. Sie ist Grundlage der QR-Zerlegung.
Was ist eine orthogonale Projektion?
Der Anteil eines Vektors in Richtung eines anderen, ⟨v, e⟩ · e bei normiertem e. Der Rest steht senkrecht auf e.
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