Eigenwerte und Eigenvektoren verstehen
Ein Eigenvektor einer Matrix A ist ein Vektor v ungleich null, der bei der Multiplikation mit A nur gestreckt oder gestaucht wird, aber seine Richtung behält: A · v = λ · v. Der Streckfaktor λ heißt Eigenwert. Eigenwerte beschreiben damit die Richtungen, in denen eine lineare Abbildung besonders einfach wirkt, und sind ein zentrales Werkzeug der linearen Algebra.
Berechnet werden die Eigenwerte über das charakteristische Polynom det(A − λE) = 0. Bei einer 2×2-Matrix ist das eine quadratische Gleichung, bei einer 3×3-Matrix eine kubische. Der Rechner löst diese Gleichungen exakt mit den bekannten Formeln und verfeinert die Lösungen numerisch. Anschließend bestimmt er zu jedem reellen Eigenwert den Eigenvektor als Lösung von (A − λE) · v = 0.
Die Eigenvektoren werden auf die Länge 1 normiert angezeigt. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist ebenfalls ein Eigenvektor, daher können Lehrbuchlösungen anders aussehen, etwa (0 | 1 | 2) statt (0 | 0,4472 | 0,8944). Bei doppelten Eigenwerten gibt der Rechner, wenn vorhanden, zwei Vektoren an, die den Eigenraum aufspannen.
Kontrolle und Sonderfälle
Zwei einfache Proben helfen bei Hausaufgaben und Klausuren: Die Summe aller Eigenwerte ist gleich der Spur, also der Summe der Diagonaleinträge, und das Produkt aller Eigenwerte ist gleich der Determinante. Im Beispiel gilt 11 + 2 + 1 = 14 und 11 · 2 · 1 = 22. Stimmen diese Werte nicht, steckt ein Rechenfehler im charakteristischen Polynom.
Reelle Matrizen können komplexe Eigenwerte haben, etwa Drehmatrizen. Sie treten immer als konjugiert komplexes Paar a ± bi auf. Der Rechner zeigt diese Eigenwerte an, gibt dazu aber keine reellen Eigenvektoren aus, weil es keine gibt. Symmetrische Matrizen haben dagegen stets nur reelle Eigenwerte, und ihre Eigenvektoren stehen senkrecht aufeinander, wie im Beispiel zu sehen.
Ist ein Eigenwert doppelt, kann der Eigenraum eindimensional oder zweidimensional sein. Bei der Einheitsmatrix ist sogar jeder Vektor ein Eigenvektor. Matrizen, deren Eigenräume zusammen nicht den ganzen Raum aufspannen, sind nicht diagonalisierbar. Da der Rechner mit Gleitkommazahlen arbeitet, werden Ergebnisse auf vier Nachkommastellen gerundet; sehr kleine Unterschiede zwischen Eigenwerten lassen sich so nicht immer auflösen.
Eigenwerte begegnen Ihnen in vielen Anwendungen: bei Schwingungen in der Mechanik, bei Hauptachsentransformationen, in der Hauptkomponentenanalyse der Statistik, bei Markow-Ketten und bei der Stabilität von Differentialgleichungen. Die Determinante allein berechnet der Determinanten-Rechner, lineare Gleichungssysteme löst der Gleichungssystem-Rechner, kubische Gleichungen der Rechner für kubische Gleichungen.
Tipps und typische Fehler
Lineare Algebra prüfen.
- Spur: Summe der λ.
- Determinante: Produkt der λ.
- Normiert: Länge 1.
- Symmetrisch: Reelle λ.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was ist ein Eigenwert?
Ein Faktor λ, für den es einen Vektor v ungleich null mit A · v = λ · v gibt.
Wie berechne ich Eigenwerte einer 2×2-Matrix?
Über λ² − Spur · λ + Determinante = 0, also λ = Spur/2 ± √((Spur/2)² − Determinante).
Warum sieht mein Eigenvektor anders aus?
Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor bestimmt; der Rechner zeigt die auf Länge 1 normierte Form.
Hat jede Matrix reelle Eigenwerte?
Nein, Drehmatrizen haben zum Beispiel komplexe Eigenwerte; symmetrische Matrizen haben stets reelle.
Was ist ein Eigenraum?
Die Menge aller Eigenvektoren zu einem Eigenwert zusammen mit dem Nullvektor.
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