Wie schnell klingt die Schwingung ab?
Jede reale Schwingung verliert Energie, sei es durch Luftwiderstand, innere Reibung oder einen gezielt eingebauten Dämpfer. Das Federbein eines Autos, die Nadel eines Messgeräts und ein Gebäude im Erdbeben folgen derselben Gleichung: Masse, Federsteifigkeit und Dämpfung bestimmen, ob und wie lange das System nachschwingt.
Der Rechner bestimmt aus Masse und Federkonstante die Kreisfrequenz des ungedämpften Systems und aus der Dämpfungskonstante die Abklingkonstante. Das Verhältnis beider ist der Dämpfungsgrad D nach Lehr. Er entscheidet über die Art der Bewegung: Unter 1 schwingt das System, bei genau 1 liegt der aperiodische Grenzfall vor, darüber der Kriechfall.
Im Schwingfall nennt der Rechner die gedämpfte Eigenfrequenz, die Periodendauer, die Güte, das logarithmische Dekrement und die Amplitude der Hüllkurve zum gewählten Zeitpunkt. Im Kriechfall berechnet er stattdessen die tatsächliche Auslenkung, wenn die Masse aus der Ruhe losgelassen wird.
ω0 = √(k/m); δ = b/(2m); D = δ/ω0; ωd = √(ω0² − δ²); Q = 1/(2D); x̂(t) = x0 · e^(−δt)
Dämpfungsgrad richtig einordnen
Ein Dämpfungsgrad von 0,01 bis 0,05 ist typisch für Stahlkonstruktionen und Stimmgabeln, die lange nachklingen. Fahrzeugfederungen werden meist auf 0,2 bis 0,4 ausgelegt: Das Auto federt weich, schwingt aber nach einer Bodenwelle nur ein- bis zweimal nach. Zeigerinstrumente und Türschließer arbeiten nahe am aperiodischen Grenzfall, weil sie so am schnellsten ohne Überschwingen zur Ruhe kommen.
Die Güte Q ist vor allem in Elektrotechnik und Akustik gebräuchlich. Sie gibt grob an, wie viele Schwingungen das System ausführt, bis die Energie merklich abgenommen hat, und bestimmt die Schärfe der Resonanz. Ein hohes Q bedeutet eine schmale, hohe Resonanzspitze; bei Anregung in der Nähe der Eigenfrequenz kann die Amplitude dann stark anwachsen.
Das logarithmische Dekrement ist der natürliche Logarithmus des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender Amplituden. Es lässt sich leicht messen: Man zeichnet den Ausschwingvorgang auf, liest zwei Spitzen ab und berechnet daraus δ. Umgekehrt können Sie mit diesem Rechner prüfen, welche Dämpfungskonstante zu einem gemessenen Abklingen passt.
Das Modell setzt eine Dämpfungskraft proportional zur Geschwindigkeit voraus, wie sie ein Öldämpfer gut annähert. Trockene Reibung verhält sich anders: Die Amplitude nimmt dann linear statt exponentiell ab. Die Formeln entsprechen der Standarddarstellung in Lehrbüchern der technischen Mechanik und Schwingungslehre.
Tipps und typische Fehler
Schwingungen verstehen.
- D < 1: Schwingt.
- D = 1: Schnellste Ruhe.
- Q: Resonanzschärfe.
- Messung: Dekrement nutzen.
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Häufige Fragen
Was bedeutet der aperiodische Grenzfall?
Bei D = 1 kehrt das System am schnellsten in die Ruhelage zurück, ohne darüber hinauszuschwingen. Viele Messgeräte werden so ausgelegt.
Warum ist die gedämpfte Frequenz kleiner?
Die Dämpfung bremst die Bewegung. Die Kreisfrequenz sinkt auf √(ω0² − δ²). Bei schwacher Dämpfung ist der Unterschied sehr klein.
Wie hängen Güte und Dämpfungsgrad zusammen?
Es gilt Q = 1/(2D). Ein Dämpfungsgrad von 0,1 entspricht einer Güte von 5, ein Dämpfungsgrad von 0,01 einer Güte von 50.
Wie messe ich die Dämpfung?
Zwei aufeinanderfolgende Amplituden ablesen; der Logarithmus ihres Verhältnisses ist das logarithmische Dekrement.
Welcher Dämpfungsgrad ist für Stoßdämpfer üblich?
Häufig etwa 0,2 bis 0,4, je nach Komfort und Fahrdynamik.
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- Lehrsches Dämpfungsmaß
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- Feder-Masse-Dämpfer
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