Wovon die Schwingungsdauer abhängt
Ein Fadenpendel ist ein Gewicht an einem dünnen Faden, das um seine Ruhelage hin und her schwingt. Bemerkenswert ist, dass die Dauer einer Schwingung bei kleinen Auslenkungen weder von der Masse noch von der Weite des Ausschlags abhängt. Es zählen nur die Länge des Fadens und die Fallbeschleunigung. Diese Eigenschaft machte Pendel über Jahrhunderte zum Taktgeber von Uhren.
Der Rechner bestimmt die Periodendauer, also die Zeit für eine vollständige Hin- und Herbewegung, dazu die Frequenz und die Zahl der Schwingungen pro Minute. Weil die einfache Formel streng genommen nur für kleine Winkel gilt, liefert er zusätzlich einen korrigierten Wert, der bei größeren Ausschlägen genauer ist.
Aus Länge und Auslenkwinkel folgt außerdem die höchste Geschwindigkeit im tiefsten Punkt der Bahn. Dort ist die gesamte Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt. Mit der Wunsch-Periodendauer rechnet der Rechner rückwärts und nennt die nötige Fadenlänge.
T = 2π × √(l ÷ g); f = 1 ÷ T; T_korr ≈ T × (1 + θ² ÷ 16); v_max = √(2 × g × l × (1 − cos θ)); l = g × (T ÷ 2π)²
Genauigkeit, Experimente und Messung
Das Sekundenpendel schwingt in einer Sekunde von einer Seite zur anderen, seine volle Periodendauer beträgt also zwei Sekunden. Auf der Erde ist es knapp einen Meter lang. Diese Nähe ist kein Zufall: Im 17. und 18. Jahrhundert wurde sogar vorgeschlagen, den Meter über die Länge des Sekundenpendels festzulegen. Da g von Ort zu Ort leicht schwankt, setzte sich dieser Vorschlag nicht durch.
Bei 10 Grad Auslenkung weicht die einfache Formel nur um rund zwei Promille ab, bei 30 Grad um etwa 1,7 Prozent. Die Korrektur im Rechner ist eine gute Näherung bis etwa 40 Grad. Bei noch größeren Winkeln wird das Pendel merklich langsamer, und die exakte Lösung erfordert ein elliptisches Integral.
Im Physikunterricht misst man die Periodendauer am besten über zehn oder zwanzig Schwingungen und teilt die Gesamtzeit durch die Anzahl. Das verringert den Einfluss der Reaktionszeit beim Stoppen. Aus der gemessenen Dauer und der Länge lässt sich umgekehrt die Fallbeschleunigung bestimmen: g = 4π² × l ÷ T².
Die Rechnung setzt ein mathematisches Pendel voraus: punktförmige Masse, masseloser Faden, keine Reibung. Reale Pendel mit großem Körper oder steifer Stange schwingen etwas anders, weil die Masse verteilt ist. Luftwiderstand lässt die Amplitude abklingen, verändert die Dauer aber kaum. Für Federschwingungen nutzen Sie den Federkraft-Rechner.
Tipps und typische Fehler
Pendel genau messen.
- Zehn Schwingungen: Stoppen.
- Länge: Bis Schwerpunkt.
- Winkel: Klein halten.
- Faden: Dünn und leicht.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Hängt die Schwingungsdauer von der Masse ab?
Nein, beim Fadenpendel nur von Länge und Fallbeschleunigung.
Wie lang ist ein Sekundenpendel?
Auf der Erde etwa 0,994 m für eine Periodendauer von 2 s.
Bis zu welchem Winkel gilt die einfache Formel?
Gut bis etwa 10 bis 15 Grad, darüber hilft die Winkelkorrektur.
Wie bestimme ich g mit einem Pendel?
g = 4π² × l ÷ T² aus gemessener Länge und Periodendauer.
Warum geht eine Pendeluhr im Sommer nach?
Das Pendel dehnt sich bei Wärme aus und schwingt langsamer.
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