Wie viele Anagramme hat ein Wort?
Ein Anagramm entsteht durch Umstellen der Buchstaben eines Wortes. Sind alle n Buchstaben verschieden, gibt es n! Anordnungen, bei einem Wort mit fünf verschiedenen Buchstaben also 120. Kommen Buchstaben mehrfach vor, sind viele dieser Anordnungen gleich, weil das Vertauschen zweier gleicher Buchstaben nichts ändert. Die Zahl der unterschiedlichen Anordnungen ist dann kleiner.
Die richtige Anzahl liefert der Multinomialkoeffizient. Man teilt n! durch die Fakultäten der Häufigkeiten aller Buchstaben. Kommt ein Buchstabe dreimal vor, gibt es 3! = 6 Arten, diese drei Exemplare untereinander zu vertauschen, ohne dass sich das Wort ändert, also wird durch 6 geteilt. Das Ergebnis ist die Anzahl der Permutationen einer Multimenge, wie sie in jedem Lehrbuch der Kombinatorik behandelt wird.
Gezählt werden alle Anordnungen, nicht nur solche, die ein sinnvolles Wort ergeben. Ob eine Umstellung ein echtes Wort ist, lässt sich mathematisch nicht bestimmen, dafür braucht man ein Wörterbuch. Der Rechner beantwortet die kombinatorische Frage, wie viele verschiedene Zeichenketten es gibt.
Rang, Wahrscheinlichkeit und Varianten
Sortiert man alle Anordnungen alphabetisch, hat jedes Wort einen festen Platz in dieser Liste. Der Rechner bestimmt ihn, ohne die Liste aufzubauen: Für jede Stelle zählt er, wie viele Anordnungen mit einem alphabetisch früheren Buchstaben an dieser Stelle beginnen würden, und summiert diese Zahlen. Die Sortierung folgt der deutschen Ordnung, Umlaute werden dabei wie im Wörterbuch neben den Grundbuchstaben eingeordnet.
Aus der Anzahl folgt auch eine Wahrscheinlichkeit. Werden die Buchstabenkärtchen eines Wortes gemischt und zufällig hingelegt, ergibt sich das ursprüngliche Wort mit der Wahrscheinlichkeit 1 zu Anzahl der Anordnungen. Bei Rhabarber ist das 1 zu 15.120. Bei Buchstabenspielen und Rätseln hilft die Zahl abzuschätzen, ob systematisches Durchprobieren noch machbar ist.
Die Optionen ändern das Ergebnis. Wer Groß- und Kleinschreibung unterscheidet, macht aus dem A in Anna einen anderen Buchstaben als das a, sodass 12 statt 6 Anordnungen entstehen. Leerzeichen werden nie mitgezählt. Satzzeichen und Bindestriche lassen sich wahlweise einbeziehen, etwa wenn ganze Sätze umgestellt werden sollen. Das ß wird als eigener Buchstabe behandelt.
Die gleiche Formel beschreibt viele Fragen jenseits von Wörtern. Wie viele Reihenfolgen gibt es für 4 rote, 3 blaue und 2 grüne Kugeln? Auf wie viele Arten lassen sich 10 Aufgaben auf drei Personen verteilen, wenn jede eine feste Anzahl bekommt? Auf wie vielen Wegen kommt man in einem Gitter mit 5 Schritten nach rechts und 3 nach oben ans Ziel? In allen Fällen ist es der Multinomialkoeffizient. Bei sehr langen Wörtern werden die Zahlen schnell riesig, der Rechner rechnet trotzdem exakt.
Tipps und typische Fehler
Buchstaben zählen.
- Häufigkeiten: Genau zählen.
- Groß/klein: Option prüfen.
- Leerzeichen: Zählen nicht.
- Wörterbuch: Für echte Wörter.
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Häufige Fragen
Wie viele Anagramme hat das Wort Anna?
Ohne Unterscheidung von Groß- und Kleinschreibung 4! / (2! · 2!) = 6, nämlich aann, anan, anna, naan, nana und nnaa. Mit Unterscheidung sind es 12.
Zählt das Wort selbst als Anagramm?
In der Gesamtzahl ist das ursprüngliche Wort enthalten. Wer nur die anderen Anordnungen sucht, zieht eins ab.
Warum teilt man durch die Fakultäten?
Weil gleiche Buchstaben untereinander vertauscht werden können, ohne dass sich das Wort ändert. Jede unterschiedliche Anordnung wird in n! genau so oft mitgezählt.
Was ist eine Permutation mit Wiederholung?
Eine Anordnung von n Objekten, unter denen gleiche vorkommen. Ihre Anzahl ist der Multinomialkoeffizient.
Wie viele Anagramme hat ein Wort ohne doppelte Buchstaben?
Genau n!, bei sechs verschiedenen Buchstaben also 720.
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