Die Weibull-Verteilung in der Zuverlässigkeitstechnik
Die Weibull-Verteilung ist das wichtigste Modell für Lebensdauern technischer Bauteile. Waloddi Weibull stellte sie 1951 vor, um die Festigkeit von Werkstoffen zu beschreiben. Heute wird sie bei Lagern, Elektronik, Fahrzeugkomponenten und Maschinen eingesetzt. Ihr Vorzug ist die Flexibilität: Mit nur zwei Parametern beschreibt sie fallende, konstante und steigende Ausfallraten, also alle drei Abschnitte der sogenannten Badewannenkurve.
Der Formparameter k, in der Technik oft β genannt, bestimmt die Gestalt. Bei k kleiner als 1 sinkt die Ausfallrate mit der Zeit, typisch für Frühausfälle durch Fertigungsfehler. Bei k = 1 ist die Rate konstant und die Verteilung geht in die Exponentialverteilung über, das Modell für rein zufällige Ausfälle. Bei k größer als 1 steigt die Rate, die Bauteile verschleißen. Werte um 3,5 ähneln einer Normalverteilung.
Der Skalenparameter λ, auch η oder T, ist die charakteristische Lebensdauer: Bis zum Zeitpunkt t0 + λ sind unabhängig von k immer 63,21 % der Einheiten ausgefallen, denn F = 1 − e−1. Die ausfallfreie Zeit t0 verschiebt die Verteilung nach rechts, wenn vorher praktisch keine Ausfälle möglich sind. Die Auswertung von Ausfalldaten ist in der Norm DIN EN 61649 und im VDA-Band 3 Teil 2 beschrieben.
Kennwerte richtig deuten
Die B10-Lebensdauer gibt an, nach welcher Zeit 10 % der Einheiten ausgefallen sind. Sie ist bei Wälzlagern die übliche Kenngröße für die nominelle Lebensdauer, bei Kraftfahrzeugteilen und Elektronik wird häufig auch B1 oder B5 verwendet. Mit dem Quantilfeld lassen sich beliebige B-Werte berechnen. Der Median entspricht B50, also dem Zeitpunkt, bis zu dem die Hälfte ausgefallen ist.
Die Ausfallrate h(t) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil, das bis t überlebt hat, im nächsten Zeitintervall ausfällt, bezogen auf die Intervalllänge. Sie unterscheidet sich von der Dichte f(t), die sich auf alle ursprünglich vorhandenen Teile bezieht. Bei k kleiner als 1 und t gleich t0 wird die Ausfallrate unendlich groß, der Rechner weist dann gesondert darauf hin.
Der Erwartungswert wird im Englischen oft MTTF genannt, mean time to failure. Er liegt bei k größer als 1 unter der charakteristischen Lebensdauer, bei k kleiner als 1 darüber. Für die Gammafunktion verwendet der Rechner die Lanczos-Näherung, die auf viele Stellen genau ist. Bei sehr kleinem Formparameter wird der Erwartungswert extrem groß, weil einige wenige Teile sehr lange halten.
Die Parameter selbst stammen aus Versuchen oder Feldbeobachtungen und werden meist mit dem Weibull-Wahrscheinlichkeitsnetz, der Maximum-Likelihood-Methode oder einer Regression geschätzt. Diese Schätzung nimmt der Rechner nicht vor, er rechnet mit gegebenen Parametern. Bei wenigen Ausfällen sind die geschätzten Parameter unsicher, Vertrauensbereiche gehören deshalb zu jeder seriösen Auswertung. Für sicherheitsrelevante Bauteile haben Herstellerangaben und einschlägige Normen Vorrang.
Tipps und typische Fehler
Lebensdauer einschätzen.
- Einheit: Einheitlich wählen.
- k: Ausfallart deuten.
- B10: Gängige Kenngröße.
- Daten: Vertrauensbereich.
Mehr zum Thema Wahrscheinlichkeit und Zufall
Häufige Fragen
Was bedeutet der Formparameter k?
Er beschreibt, wie sich die Ausfallrate mit der Zeit ändert: kleiner als 1 fallend (Frühausfälle), gleich 1 konstant (Zufall), größer als 1 steigend (Verschleiß).
Warum fallen bis λ immer 63,2 % aus?
Weil F(t<sub>0</sub> + λ) = 1 − e<sup>−1</sup> ≈ 0,6321 gilt, unabhängig vom Formparameter. Deshalb heißt λ charakteristische Lebensdauer.
Was ist die B10-Lebensdauer?
Die Zeit, nach der 10 % einer Population ausgefallen sind, also das 10-%-Quantil. Sie ist eine übliche Kenngröße für Lager und Bauteile.
Was ist die Badewannenkurve?
Der typische Verlauf der Ausfallrate über die Lebensdauer: erst fallend durch Frühausfälle, dann konstant, am Ende steigend durch Verschleiß.
Wann passt die Exponentialverteilung?
Wenn die Ausfallrate konstant ist, also bei Weibull mit k = 1. Das gilt für rein zufällige Ausfälle ohne Alterung.
- Weibull-Verteilung berechnen
- Weibull Ausfallrate
- B10-Lebensdauer berechnen
- Weibull Formparameter
- charakteristische Lebensdauer
- Zuverlässigkeit Weibull
Alle Berechnungen erfolgen direkt in Ihrem Browser, Ihre Eingaben werden nicht übertragen oder gespeichert. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte ohne Gewähr und ersetzen keine steuerliche, rechtliche oder finanzielle Beratung. Die Erklärtexte auf dieser Seite wurden mit KI erstellt. Letzte inhaltliche Änderung dieser Seite: . Mehr dazu: So entstehen und prüfen wir die Rechner.