Exponentielles Wachstum verstehen
Wächst eine Bevölkerung jedes Jahr um denselben Prozentsatz, nimmt die absolute Zahl der Neuzugänge von Jahr zu Jahr zu, denn die Rate bezieht sich auf eine immer größere Grundmenge. Dieses Muster heißt exponentielles Wachstum. Es gilt für Menschen ebenso wie für Tierbestände oder Bakterienkulturen, solange Nahrung und Platz nicht knapp werden.
Die anschaulichste Kennzahl ist die Verdopplungszeit. Sie gibt an, nach wie vielen Jahren sich die Bevölkerung bei gleichbleibender Rate verdoppelt hat, und hängt nur von der Rate ab, nicht von der Ausgangsgröße. Schon kleine Unterschiede in der Rate verschieben sie stark: Bei 1 Prozent dauert die Verdopplung knapp 70 Jahre, bei 3 Prozent nur gut 23 Jahre.
Der Rechner bietet zwei Modelle. Beim diskreten Modell kommt der Zuwachs einmal im Jahr hinzu, wie bei Statistiken mit Jahreswerten. Beim stetigen Modell wächst die Population kontinuierlich, wie es in der Biologie und in vielen Lehrbüchern verwendet wird. Bei kleinen Raten liegen beide Ergebnisse nah beieinander.
Grenzen des Modells
Kein reales Wachstum bleibt über lange Zeit konstant. Bei Menschen sinken die Geburtenraten meist mit steigendem Wohlstand und Bildung, Wanderungen kommen hinzu oder fallen weg. Bei Tieren und Mikroorganismen bremsen begrenzte Ressourcen das Wachstum; die Kurve flacht dann ab und nähert sich einer Obergrenze, der Kapazität des Lebensraums. Das beschreibt das logistische Modell genauer.
Für kurze Zeiträume und Vergleiche ist das exponentielle Modell dennoch nützlich. Es zeigt, was eine bestimmte Rate auf Dauer bedeutet, und macht Größenordnungen greifbar. Für Prognosen der amtlichen Statistik werden dagegen Geburten, Sterbefälle und Wanderungen getrennt nach Altersgruppen fortgeschrieben, in mehreren Varianten.
Bei negativen Raten schrumpft die Bevölkerung, und an die Stelle der Verdopplungszeit tritt die Halbierungszeit. Ein Rückgang um 10 Prozent pro Jahr halbiert einen Bestand in etwa 6,6 Jahren. Die Faustregel 70 geteilt durch die Rate funktioniert in beide Richtungen als schnelle Kopfrechnung und wird mit steigender Rate ungenauer.
Die Rate aus zwei bekannten Bevölkerungszahlen ermitteln Sie mit dem Wachstumsrechner, den Zerfall mit fester Halbwertszeit zeigt der Halbwertszeit-Rechner. Wie eine Exponentialkurve verläuft, veranschaulicht der Exponentialfunktion-Rechner mit Wertetabelle.
Tipps und typische Fehler
Wachstum einordnen.
- Rate: Prozent pro Jahr.
- Faustregel: 70 ÷ Rate.
- Modell: Diskret oder stetig.
- Grenzen: Langfristig vorsichtig.
Weitere Rechner: Mathe & Formeln
Häufige Fragen
Was ist die Verdopplungszeit?
Die Zeit, nach der sich eine Population bei gleichbleibender Wachstumsrate verdoppelt hat. Sie hängt nur von der Rate ab.
Wie funktioniert die Faustregel 70?
Teilen Sie 70 durch die Wachstumsrate in Prozent. Das Ergebnis ist ungefähr die Verdopplungszeit in Jahren.
Wann ist das stetige Modell sinnvoll?
Wenn das Wachstum laufend geschieht, etwa bei Bakterienkulturen oder in mathematischen Modellen der Biologie.
Was ist logistisches Wachstum?
Wachstum, das sich einer Obergrenze nähert, weil Ressourcen knapp werden.
Wie berechne ich die Wachstumsrate aus zwei Werten?
Endwert durch Anfangswert, davon die n-te Wurzel, minus 1.
- Bevölkerungswachstum berechnen
- Verdopplungszeit berechnen
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- Wachstumsrate Bevölkerung
- Regel 70 Verdopplung
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