Das Gesetz der vierten Potenz
Das Gesetz von Hagen und Poiseuille beschreibt, wie viel Flüssigkeit pro Zeit durch ein dünnes, gerades Rohr fließt, wenn die Strömung laminar ist. Die Flüssigkeit bewegt sich dann in Schichten, die in der Rohrmitte am schnellsten und an der Wand gar nicht strömen. Das Geschwindigkeitsprofil ist eine Parabel.
Bemerkenswert ist der Einfluss des Radius: Er geht mit der vierten Potenz ein. Halbiert sich der Durchmesser, fließt bei gleichem Druck nur noch ein Sechzehntel. Deshalb reagieren Kapillaren, Kanülen, Schläuche in Laborgeräten und Blutgefäße so empfindlich auf kleine Änderungen der Weite.
Der Rechner gibt den Volumenstrom in Millilitern pro Minute und Litern pro Stunde aus, dazu mittlere und maximale Geschwindigkeit sowie die Schubspannung an der Rohrwand. Über die Reynolds-Zahl prüft er, ob die Voraussetzung einer laminaren Strömung erfüllt ist. Ist sie es nicht, wird das Ergebnis deutlich markiert.
Q = π·r⁴·Δp ÷ (8·η·L); v̄ = Q ÷ (π·r²); v_max = 2·v̄; Re = ρ·v̄·d ÷ η; τ_Wand = Δp·r ÷ (2·L)
Voraussetzungen und typische Anwendungen
Hagen-Poiseuille gilt nur unter bestimmten Bedingungen: stationäre Strömung, newtonsche Flüssigkeit mit konstanter Viskosität, starres Rohr mit kreisrundem Querschnitt und eine voll ausgebildete Strömung. Am Rohreinlauf braucht das Profil eine gewisse Strecke, bis es parabelförmig ist. Bei kurzen Rohren fällt der tatsächliche Durchfluss deshalb etwas geringer aus.
Die Grenze zur turbulenten Strömung liegt in glatten Rohren bei einer Reynolds-Zahl von etwa 2300. Darüber steigt der Widerstand stärker an, und die Formel überschätzt den Durchfluss. Für solche Fälle eignet sich die Rechnung mit Rohrreibungszahl nach Darcy-Weisbach, wie sie der Druckverlust-Rechner verwendet.
Typische Einsatzfelder sind Kapillarviskosimeter, Mikrofluidik, Infusions- und Dosiertechnik im Labor, Ölleitungen mit zähen Medien und Filterporen. Umgekehrt lässt sich aus einem gemessenen Durchfluss die Viskosität bestimmen. Achten Sie auf die Temperatur: Die Viskosität von Wasser sinkt zwischen 20 und 40 Grad um fast ein Drittel.
Für Blut ist das Gesetz nur eine grobe Näherung, weil Blut keine newtonsche Flüssigkeit ist und Gefäße elastisch sind. Medizinische Aussagen lassen sich daraus nicht ableiten. Alle Ergebnisse sind physikalische Modellwerte; bei technischen Anlagen haben Herstellerangaben und Messungen Vorrang.
Tipps und typische Fehler
Laminar rechnen.
- Re: Unter 2300.
- Viskosität: Temperatur beachten.
- Radius: Genau messen.
- Einlauf: Kurze Rohre prüfen.
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Häufige Fragen
Was besagt das Gesetz von Hagen-Poiseuille?
Der Volumenstrom einer laminaren Rohrströmung ist proportional zur vierten Potenz des Radius und zur Druckdifferenz, umgekehrt proportional zu Viskosität und Länge.
Wann gilt Hagen-Poiseuille nicht mehr?
Bei turbulenter Strömung ab einer Reynolds-Zahl von etwa 2300 und bei nicht newtonschen Flüssigkeiten.
Wie stark wirkt sich der Durchmesser aus?
Mit der vierten Potenz: Doppelter Durchmesser ergibt den sechzehnfachen Volumenstrom.
Warum geht der Radius mit der vierten Potenz ein?
Die Fläche wächst mit r² und die mittlere Geschwindigkeit ebenfalls mit r², zusammen ergibt das r⁴.
Wie sieht das Geschwindigkeitsprofil aus?
Parabelförmig: an der Wand null, in der Mitte doppelt so schnell wie der Mittelwert.
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