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Wie oft Karten mischen? Riffle-Shuffles berechnen

Wählen Sie die Kartenzahl Ihres Decks und wie oft Sie mischen. Der Rechner zeigt, wie weit das Deck danach noch von einer echten Zufallsreihenfolge entfernt ist und wie viele Riffle-Shuffles für Ihr Ziel nötig sind.

Deck und Mischvorgänge
Skat 32, Poker und Bridge 52, Doppelkopf 48, Rommé 104 ohne Joker.
Bayer und Diaconis wählten 50 Prozent als Schwelle.
Ergebnis

Sieben Mal mischen: Herkunft der Regel

Beim Riffle-Shuffle wird ein Kartenstapel in zwei etwa gleich große Hälften geteilt, die dann ineinander geblättert werden. Wie oft man das tun muss, bis die Reihenfolge wirklich zufällig ist, haben die Mathematiker Dave Bayer und Persi Diaconis 1992 exakt berechnet. Ihr Ergebnis für ein 52er-Blatt ist bekannt geworden: Sieben Mischvorgänge reichen, weniger nicht.

Als Maß dient der Totalvariationsabstand. Er gibt an, wie stark sich die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Reihenfolgen nach dem Mischen von der Gleichverteilung unterscheiden. Ein Wert von 100 Prozent heißt, dass das Deck praktisch noch geordnet ist, 0 Prozent bedeutet perfekte Zufälligkeit. Bei 52 Karten bleibt der Abstand bis zum fünften Shuffle fast bei 100 Prozent und fällt dann schlagartig: 61 Prozent nach sechs, 33 Prozent nach sieben und 17 Prozent nach acht Durchgängen.

Grundlage ist das Gilbert-Shannon-Reeds-Modell, das ein ungeübtes, menschliches Mischen gut beschreibt. Die Wahrscheinlichkeit einer Reihenfolge hängt darin nur von der Zahl ihrer aufsteigenden Folgen ab. Damit lässt sich der Abstand ohne Simulation exakt bestimmen. Der Rechner nutzt genau diese Formel und rechnet für beliebige Decks bis 104 Karten.

Abstand=½⋅∑ u¨ber r von A (n , r) / n!⋅∣ C (2k+n−r , n)⋅n!2nk−1 ∣ , mit A (n , r)=Euler-Zahlen , n=Kartenzahl , k=Shuffles\text{Abstand} = \frac{½ \cdot \sum\,\text{über r von A}\,\left(n\,{,}\ r\right)\,/\,n! \cdot |\,C\,\left(2^{k} + n - r\,{,}\ n\right) \cdot n!}{2^{\text{nk}}} - 1\,|\,{,}\ \quad \text{mit}\ A\,\left(n\,{,}\ r\right) = \text{Euler-Zahlen}\,{,}\ n = \text{Kartenzahl}\,{,}\ k = \text{Shuffles}

Beispiel: Ein Pokerblatt hat 52 Karten. Nach 7 Riffle-Shuffles liegt der Abstand zur perfekten Mischung bei 33,4 Prozent, nach 6 noch bei 61,4 Prozent. Bei einer Schwelle von 50 Prozent sind also 7 Shuffles nötig. Die grobe Faustregel 1,5 × log2(52) ergibt 8,6. Das Deck kann in 52! = 8,07 × 10^67 Reihenfolgen liegen, eine Zahl mit 68 Stellen.

Was das für den Spieltisch bedeutet

Für ein Skatblatt mit 32 Karten genügen bei derselben Schwelle sechs Shuffles, für zwei gemischte Decks mit 104 Karten braucht es acht. Die Zahl wächst also nur langsam mit der Deckgröße, ungefähr mit dem Logarithmus der Kartenzahl. Das erklärt, warum sich die Faustregel von anderthalb mal dem Zweierlogarithmus gut als Näherung eignet.

Andere Mischtechniken sind deutlich weniger wirksam. Beim Überhandmischen, bei dem kleine Päckchen von einer Hand in die andere wandern, braucht ein 52er-Blatt nach Untersuchungen von Diaconis und Kollegen mehrere tausend Durchgänge für eine vergleichbare Zufälligkeit. Wer am Tisch nur überhand mischt, bekommt also ein Deck, in dem Kartenfolgen aus der letzten Runde erkennbar erhalten bleiben.

Der Zielabstand ist eine Frage des Anspruchs. Bayer und Diaconis setzten die Schwelle bei 50 Prozent, weil der Abstand dort am steilsten fällt. Für Turniere oder Glücksspiele mit Geldeinsatz kann eine strengere Grenze sinnvoll sein. Mit 20 Prozent sind für 52 Karten acht Shuffles nötig, mit 10 Prozent neun. Jeder weitere Durchgang halbiert den Abstand ungefähr.

Ein perfekter Riffle-Shuffle, bei dem sich die Karten exakt abwechseln, mischt dagegen gar nicht zufällig: Nach acht solchen Faro-Shuffles liegt ein 52er-Blatt wieder in der Ausgangsreihenfolge. Zufälligkeit entsteht gerade durch die kleinen Unregelmäßigkeiten beim Blättern. Kasinos setzen deshalb Mischmaschinen ein oder kombinieren mehrere Riffle-Shuffles mit Abheben.

Tipps und typische Fehler

Gut mischen.

  • Riffle: Statt überhand mischen.
  • Abheben: Zum Schluss.
  • Kleine Decks: Weniger Durchgänge.
  • Doppeldeck: Einen mehr.

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Häufige Fragen

Wie oft muss man ein Kartenspiel mischen?

Bei 52 Karten sieben Riffle-Shuffles, bei 32 Karten sechs, nach dem Maßstab von Bayer und Diaconis.

Wie viele Reihenfolgen hat ein Kartendeck?

52! sind etwa 8,07 × 10^67; ein 32er-Skatblatt hat etwa 2,63 × 10^35 Reihenfolgen.

Reicht Überhandmischen aus?

Nein, es braucht ein Vielfaches an Durchgängen; der Riffle-Shuffle mischt viel schneller.

Was ist ein Riffle-Shuffle?

Das Deck wird geteilt und beide Hälften werden mit dem Daumen ineinander geblättert.

Warum genau sieben Mal?

Bei 52 Karten fällt der Abstand zur Zufallsverteilung erst nach sieben Durchgängen deutlich unter die Hälfte.

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