Die wichtigsten Kennzahlen
Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Reihe und weniger anfällig für Ausreißer. Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert. Zusammen beschreiben sie, wo die Mitte einer Zahlenreihe liegt.
Die Streuung beschreibt, wie weit die Werte auseinanderliegen. Die Spannweite ist die Differenz von Maximum und Minimum. Die Varianz und die Standardabweichung messen die mittlere Abweichung vom Mittelwert. Bei Stichproben teilt man durch n − 1, bei einer vollständigen Grundgesamtheit durch n.
Welches Maß wann?
Bei Daten mit Ausreißern, etwa Gehältern, ist der Median aussagekräftiger als der Mittelwert, weil ein einzelner sehr hoher Wert den Mittelwert stark verschiebt. Bei symmetrisch verteilten Daten liegen beide nahe beieinander.
Für Messreihen nutzt man meist die Stichproben-Standardabweichung mit n − 1, weil man aus wenigen Messungen auf die Streuung schließt. Haben Sie alle Werte der Gruppe erfasst, passt die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Der Rechner zeigt beide Werte nebeneinander.
Wann welche Kennzahl
Der Modus ist die einzige Kennzahl, die auch bei nicht-numerischen Daten sinnvoll ist, etwa der häufigsten Farbe. Bei Zahlenreihen ist er nur aussagekräftig, wenn Werte tatsächlich mehrfach vorkommen. Gibt es mehrere gleich häufige Werte, zeigt der Rechner alle.
Die Spannweite reagiert stark auf Ausreißer, die Standardabweichung weniger. Für den Vergleich verschiedener Messreihen ist die Standardabweichung deshalb die bessere Wahl. Stehen mehr als eine Handvoll Werte zur Verfügung, ist sie auch als Maß der Streuung aussagekräftig.
Kopieren Sie Zahlen aus einer Tabelle am besten untereinander in das Feld. Zeilenumbrüche werden dabei zu Leerzeichen, und das Ergebnis stimmt. Ein Punkt wird ebenfalls als Dezimaltrenner gelesen. Achten Sie deshalb auf Tausenderpunkte: 1.234 wird als 1,234 verstanden; schreiben Sie große Zahlen ohne Trennpunkt.
Mit dem Ergebnis können Sie beurteilen, wie typisch ein einzelner Wert ist. Liegt er mehr als zwei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt, gilt er in vielen Fällen als Ausreißer. Prüfen Sie dann, ob ein Messfehler oder ein Tippfehler vorliegt.
Rechenbeispiele Schritt für Schritt
Noten einer Klassenarbeit (8 Werte)
Acht Schülerinnen und Schüler haben die Noten 2; 3; 2; 1; 4; 2; 3; 5 geschrieben. Gesucht sind Durchschnitt, Median, häufigste Note und Streuung.
| Summe / Anzahl | 22 / 8 |
|---|---|
| Mittelwert | 2,75 |
| Median | 2,5 |
| Modus | 2 |
| Standardabweichung (Stichprobe) | 1,28174 |
Der Notenschnitt liegt bei 2,75, die häufigste Note ist die 2. Weil hier alle Arbeiten der Klasse erfasst sind, ist streng genommen die Standardabweichung der Grundgesamtheit (1,198958) die passende Größe.
Gehälter mit einem Ausreißer
Sechs Monatsgehälter in Euro: 2.400; 2.600; 2.800; 3.100; 3.300; 12.000. Eingegeben werden die Zahlen ohne Tausenderpunkt.
| Eingabe | 2400; 2600; 2800; 3100; 3300; 12000 |
|---|---|
| Mittelwert | 4366,666667 |
| Median | 2950 |
| Spannweite | 9600 |
| Standardabweichung (Stichprobe) | 3753,753677 |
Ein einziges hohes Gehalt hebt den Durchschnitt auf rund 4.367 Euro, obwohl fünf von sechs Personen weniger als 3.400 Euro verdienen. Der Median von 2.950 Euro beschreibt die typische Situation deutlich besser.
Messreihe Körpergröße in Metern
Fünf gemessene Körpergrößen mit Dezimalkomma, getrennt durch Leerzeichen: 1,72 1,68 1,81 1,75 1,79.
| Mittelwert | 1,75 |
|---|---|
| Standardabweichung (Stichprobe) | 0,05244 |
| Varianz (Stichprobe) | 0,00275 |
| Minimum und Maximum | 1,68 und 1,81 |
| Variationskoeffizient (0,05244 ÷ 1,75) | 3,0 % |
Die Größen streuen im Mittel um gut 5 cm um 1,75 m. Der Variationskoeffizient von 3 Prozent zeigt eine geringe relative Streuung; die Varianz ist in Quadratmetern angegeben und deshalb schwer anschaulich.
Sonderfälle und Grenzen
- Tausenderpunkt: Ein Punkt wird als Dezimaltrennzeichen gelesen. Aus 1.234 wird deshalb 1,234 und nicht eintausendzweihundertvierunddreißig. Schreiben Sie große Zahlen ohne Trennpunkt.
- Häufigkeitstabellen: Liegen Daten als Tabelle mit Häufigkeiten vor, etwa fünfmal die Note 2, muss jeder Wert so oft eingegeben werden, wie er vorkommt. Alternativ hilft der Gewichteter-Mittelwert-Rechner.
- Quartile und Boxplot: Quartile, Interquartilsabstand und Perzentile berechnet der Rechner nicht. Beachten Sie, dass Statistikprogramme und Tabellenkalkulationen dafür unterschiedliche Verfahren nutzen und leicht abweichende Werte liefern.
- Wachstumsraten und Renditen: Für prozentuale Veränderungen über mehrere Perioden ist der arithmetische Mittelwert irreführend. Hier ist das geometrische Mittel richtig, das der Mittelwerte-Rechner ausgibt.
- Klassierte Daten: Liegen nur Klassen vor, etwa Altersgruppen 20 bis 29 Jahre, lassen sich Mittelwert und Streuung nur näherungsweise über die Klassenmitten bestimmen.
- Varianz der Grundgesamtheit: Angezeigt wird die Stichprobenvarianz. Die Varianz der Grundgesamtheit erhalten Sie, indem Sie die angezeigte Standardabweichung der Grundgesamtheit quadrieren.
Häufige Fragen
Was sagt die Standardabweichung konkret aus?
Sie gibt an, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert abweichen, und hat dieselbe Einheit wie die Daten. Sind die Daten annähernd normalverteilt, liegen etwa 68 Prozent der Werte im Bereich Mittelwert plus/minus eine Standardabweichung und etwa 95 Prozent im Bereich plus/minus zwei Standardabweichungen.
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Die Varianz ist die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert, die Standardabweichung ist ihre Wurzel. Weil die Varianz quadrierte Einheiten hat, etwa Quadratmeter oder Euro zum Quadrat, ist die Standardabweichung leichter zu deuten. Für Berechnungen wie die Fehlerfortpflanzung oder Varianzanalysen wird dagegen mit der Varianz gerechnet.
Was ist der Variationskoeffizient?
Der Variationskoeffizient ist die Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert, meist in Prozent angegeben. Er macht die Streuung von Reihen mit unterschiedlichem Niveau oder unterschiedlichen Einheiten vergleichbar. Bei den Körpergrößen 1,72 bis 1,81 m beträgt er rund 3 Prozent, bei den Gehältern mit Ausreißer rund 86 Prozent. Sinnvoll ist er nur bei Daten, die nicht negativ werden können.
Was ist der Standardfehler des Mittelwerts?
Der Standardfehler beschreibt, wie genau der berechnete Mittelwert den wahren Mittelwert schätzt. Er ist die Stichproben-Standardabweichung geteilt durch die Wurzel aus der Anzahl der Werte. Bei den fünf Körpergrößen ergibt sich 0,05244 geteilt durch 2,236, also rund 0,023 m. Mit mehr Messungen wird der Mittelwert genauer, die Streuung der Einzelwerte bleibt aber gleich.
Wie berechne ich einen Notendurchschnitt mit unterschiedlicher Gewichtung?
Zählen etwa Klausuren doppelt, reicht der einfache Mittelwert nicht. Sie können jede doppelt gewichtete Note zweimal in die Liste schreiben oder den Gewichteter-Mittelwert-Rechner nutzen. Der Durchschnitt ist dann die Summe aus Note mal Gewicht geteilt durch die Summe der Gewichte.
Warum zeigt der Rechner Werte mit vielen Nachkommastellen?
Der Rechner gibt Mittelwert, Standardabweichung und Varianz bis zu sechs Nachkommastellen aus, damit Sie selbst passend runden können. Runden Sie das Ergebnis sinnvoll auf die Genauigkeit Ihrer Messwerte, in der Regel auf eine Stelle mehr als die Ausgangsdaten. Eine Körpergröße in Zentimetern genau ergibt also einen Mittelwert auf Millimeter genau.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods National Institute of Standards and Technology
- ISO 3534-1 Statistik – Begriffe und Formelzeichen International Organization for Standardization
- JCGM-Leitfäden zur Messunsicherheit (GUM) Bureau International des Poids et Mesures
Alle Berechnungen erfolgen direkt in Ihrem Browser, Ihre Eingaben werden nicht übertragen oder gespeichert. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte ohne Gewähr und ersetzen keine steuerliche, rechtliche oder finanzielle Beratung. Die Erklärtexte auf dieser Seite wurden mit KI erstellt. Letzte inhaltliche Änderung dieser Seite: . Mehr dazu: So entstehen und prüfen wir die Rechner.